Esercitazioni su anelli polinomiali
Salve sono nuovo e vorrei delucidazioni su come svolgere questo tipo di esercizi:
A) Sia consideri l’anello polinomiale F := Z[size=60]7[/size][x]/(x^2 + 3x + 1).
(1) Stabilire se F è o meno un campo;
(2) determinare le radici in F del polinomio f(Y ) := Y^2 +[3][size=60]F[/size] Y +[1][size=60]F[/size] appartenente a F[Y].
Per il punto (1) credo sia un campo in quanto non ci sono radici ed è irriducibile, tuttavia non riesco a capire cosa sia quel [3] e [1] modulo F e sopratutto come procedere per svolgerlo.
B) Sia F = Z2, e si consideri il polinomio p(x) = x^4 + x^3 + 1 appartenente a F[x].
(1) Provare che E := F[x]=(p(x)) è un campo;
(2) determinare un elemento di E avente periodo moltiplicativo pari a 15.
Anche qui riscontro problemi nella seconda parte.
C) Sia F = Z[size=60]3[/size][x]/(x^2 + 1).
(1) Provare che F è un campo;
(2) determinare le radici del polinomio y^2 + y + 2[size=60]F[/size] appartenenti a F[y] in F;
(3) esiste un polinomio di secondo grado in F[y] che non ammette radici in F?
D) Sia f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1 appartenente a Z[size=60]3[/size][x] e poniamo A = Z[size=60]3[/size][x]=(f).
(1) Dire se A è o meno un campo;
(2) dire se = [x^2 + 1][size=60]f[/size] è o meno un divisore di zero in A;
(3) determinare l’inverso in A di = [x^2].
Per questo esercizio credo che il polinomio sia irriducibile. Riscontro un problema nella seconda domanda in quanto mi pone un dubbio; se un polinomio in un campo finito è irriducibile ha divisori di zero?
Grazie in anticipo, spero in una vostra risposta.
A) Sia consideri l’anello polinomiale F := Z[size=60]7[/size][x]/(x^2 + 3x + 1).
(1) Stabilire se F è o meno un campo;
(2) determinare le radici in F del polinomio f(Y ) := Y^2 +[3][size=60]F[/size] Y +[1][size=60]F[/size] appartenente a F[Y].
Per il punto (1) credo sia un campo in quanto non ci sono radici ed è irriducibile, tuttavia non riesco a capire cosa sia quel [3] e [1] modulo F e sopratutto come procedere per svolgerlo.
B) Sia F = Z2, e si consideri il polinomio p(x) = x^4 + x^3 + 1 appartenente a F[x].
(1) Provare che E := F[x]=(p(x)) è un campo;
(2) determinare un elemento di E avente periodo moltiplicativo pari a 15.
Anche qui riscontro problemi nella seconda parte.
C) Sia F = Z[size=60]3[/size][x]/(x^2 + 1).
(1) Provare che F è un campo;
(2) determinare le radici del polinomio y^2 + y + 2[size=60]F[/size] appartenenti a F[y] in F;
(3) esiste un polinomio di secondo grado in F[y] che non ammette radici in F?
D) Sia f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1 appartenente a Z[size=60]3[/size][x] e poniamo A = Z[size=60]3[/size][x]=(f).
(1) Dire se A è o meno un campo;
(2) dire se = [x^2 + 1][size=60]f[/size] è o meno un divisore di zero in A;
(3) determinare l’inverso in A di = [x^2].
Per questo esercizio credo che il polinomio sia irriducibile. Riscontro un problema nella seconda domanda in quanto mi pone un dubbio; se un polinomio in un campo finito è irriducibile ha divisori di zero?
Grazie in anticipo, spero in una vostra risposta.
Risposte
"pierloj":
Per il punto (1) credo sia un campo in quanto non ci sono radici ed è irriducibile, tuttavia non riesco a capire cosa sia quel [3] e [1] modulo F e sopratutto come procedere per svolgerlo.
Così è più chiaro?
\(\displaystyle [3]_{F} = \pi\bigl(3 + (x^2 + 3x + 1)\bigr)\) dove \(\displaystyle \pi \) è la proiezione canonica in \(\displaystyle F \).
Ok ora ho una vaga idea di cosa possa essere.. ma non ho idea di come svolgere il punto 2.
"pierloj":
(2) determinare le radici in F del polinomio f(Y ) := Y^2 +[3][size=60]F[/size] Y +[1][size=60]F[/size] appartenente a F[Y].
Segno \(\displaystyle (x^2 + 3x+1) \) come \(\displaystyle I \).
\(\displaystyle f(Y) = Y^2 + (3 + I)Y + (1 + I) = Y^2 + 3Y + 1 + I \) perché \(\displaystyle I \) è un ideale. Ora vuoi sapere per quali \(\displaystyle y_0 + I \) si ha che \(\displaystyle f(y_0 + I) = 0 + I \).
Hai che
\begin{align} (y_0 + I)^2 + 3(y_0 + I) + 1 + I &= y_0^2 + I + 3y_0 + I + 1 + I \\
&= y_0^2 + 3y_0 + 1 + I \\
\end{align}
Quindi devi avere \(\displaystyle y_0^2 + 3y_0 + 1 + I = 0 + I \). Questo accade in due casi: \(\displaystyle y_0^2 + 3y_0 + 1 = 0 \) oppure \(\displaystyle y_0^2 + 3y_0 + 1 \in I \). Siccome hanno lo stesso grado direi che dovrebbe essere solo il primo caso. Insomma, ho fatto il ragionamento un po' di fretta quindi controlla.
Senti non ho capito, potresti spiegarlo in un'altro modo perpiacere?