Esempio di anello: $Z[sqrt(-5)]$

[jitter1]

Mi aiutereste con un esempio di sottoanello? Sono all'inizio e non mi sono chiare alcune cose di base.

1) Il libro dice: "Sia $α=±sqrt(-5)=±√5, i∈C$ radice del polinomio $X^2+5$".

Ho trovato, per gli elementi di A, la forma $a + sqrt(5)bi$. E' giusto?

2) Libro: "$A = ℤ[ √(-5)] ⊂ ℂ$ è un sottoanello dunque un dominio."

Perché "sottoanello dunque dominio"? Al di dà di quel "dunque", ho provato a dimostrare che A è un dominio: è un anello commutativo unitario, ma non riesco a dimostrare che A è privo di divisori dello zero.

3) Libro: "Si vede che $A∗ = {±1}$". (Con A* indica l'insieme degli elementi invertibili di A).

Volevo verificare che non ci sono altri elementi invertibili oltre a 1 e -1. Pongo allora "$(a+sqrt(5)bi)(x+sqrt(5)yi)=1$, ma da qui ottengo un sistema da cui non cavo nulla... Forse la soluzione è più semplice, ma mi sfugge.

3) Libro: "Abbiamo che $6=2∙3=(1+sqrt(5))(1-sqrt(5))$. Si ha che 2 è irriducibile ma non è primo in A in quanto 2 non divide $1±sqrt(5)$ in $ℤ[ √(-5)]$.

Che 2 è primo ok. Invece non riesco a vedere che è irriducibile dalla definizione ($a$ irriducibile se $a|bc$ implica $b$ invertibile oppure $c$ invertibile). Se scompongo 2 come $2 = 2*1$, in effetti osservo che 1 è invertibile, ma come posso sapere che non esiste una scomposizione simile a quella del 6? Se pongo "$(a+sqrt(5)bi)(x+sqrt(5)yi)=2$, anche qui il sistema non mi dice nulla...

[Epimenide93]

"jitter":
1)

Immagino che la richiesta sia di caratterizzare gli elementi di $A = \mathbb Z [\alpha]$ e che tu stia sottintendendo $a, b \in \mathbb Z$. Nel qual caso sì, è giusto.

"jitter":
Perché "sottoanello dunque dominio"?

Sai che $\mathbb C$ è un campo, quindi in particolare è un dominio (ti torna?). Se un suo sottoanello $A \subseteq \mathbb C$ avesse zero-divisori non banali sarebbero, in quanto elementi di $A$, in particolare elementi di $\mathbb C$, e visto che il prodotto in $A$ è una restrizione del prodotto in $\mathbb C$, in particolare $\mathbb C$ avrebbe degli zero-divisori non banali, il che è assurdo. Sostituendo a $\mathbb C$ un qualsiasi dominio d'integrità $D$ dimostri che qualsiasi sottoanello di un dominio (e quindi in particolare di un campo) è ancora un dominio. Occhio ché ovviamente un sottoanello di un campo non è necessariamente un campo.

"jitter":3) Forse la soluzione è più semplice

In questo caso sì, visto che sei in un sottoanello di $\mathbb C$ e in $\mathbb C$ sai prendere gli inversi ti basta invertire un generico elemento di $A$ diverso da $1$ e $-1$ e verificare che non sta in $A$.

"jitter":Che 2 è primo ok. Invece non riesco a vedere che è irriducibile

In un qualsiasi dominio d'integrità vale

$x$ primo $\Rightarrow$ $x$ irriducibile

se il dominio è anche un UFD [nota]giusto per essere pedante: in realtà basta un'ipotesi più debole, ovvero che sia un dominio con MCD[/nota] allora:

$x$ primo $\iff$ $x$ irriducibile

puoi trovare una dimostrazione di questi fatti su qualsiasi libro di algebra, o puoi provare a dimostrarli per esercizio, è un ottimo modo per fare pratica con i concetti.

[jitter1]

Pensavo di aver risposto... forse non ho fatto Invia.
Ora mi è tutto chiarissimo Epimenide, grazie mille