Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?
Il prodotto vettoriale è x definizione non commutativo, quindi antisimmetrico.
Il complesso coniugato cambia il segno della parte immaginaria *
Mi domandavo se qualcosa del genere si potesse fare anche per il prodotto vettoriale.
Note e Riflessioni:
- non vedo analogie tra le due operazioni: la prima è binaria, la seconda è unaria
- in un anello un' operazione binaria non commutativa non necessariamente è antisimmetrica (quel 'quindi' è falso)
Avevo preso in considerazione la moltiplicazione tra matrici, ma non ho idea se è di questo che ho davvero bisogno per rendere commutativo il prodotto vettoriale, oppure se serve una struttura costruita ad hoc.
Non sapendo bene come procedere (non ho trovato fonti in merito) chiedo gentilmente se mi potete fare degli esempi in tal senso.
Il complesso coniugato cambia il segno della parte immaginaria *
Mi domandavo se qualcosa del genere si potesse fare anche per il prodotto vettoriale.
Note e Riflessioni:
- non vedo analogie tra le due operazioni: la prima è binaria, la seconda è unaria
- in un anello un' operazione binaria non commutativa non necessariamente è antisimmetrica (quel 'quindi' è falso)
Avevo preso in considerazione la moltiplicazione tra matrici, ma non ho idea se è di questo che ho davvero bisogno per rendere commutativo il prodotto vettoriale, oppure se serve una struttura costruita ad hoc.
Non sapendo bene come procedere (non ho trovato fonti in merito) chiedo gentilmente se mi potete fare degli esempi in tal senso.
Risposte
Dovresti imparare a leggere bene le definizioni prima di metterti a divagare per un'ora.
Un anello è una tripletta \(\displaystyle (A, +,\,\cdot\,) \) dove \(A\) è un insieme e \(\displaystyle +\colon A\times A\to A \) e \(\displaystyle \cdot\colon A\times A\to A \) sono due operazioni binarie tali che:
[list=1][*:3mlf0sb0] \((A,+)\) è un gruppo abeliano. Ovvero \(\displaystyle + \) è associativa, commutativa, ha un elemento neutro e ogni elemento di \(\displaystyle A \) possiede un inverso (generalmente denotato come \(\displaystyle -a \));[/*:m:3mlf0sb0]
[*:3mlf0sb0] la moltiplicazione \(\displaystyle \cdot \) gode della proprietà associativa;[/*:m:3mlf0sb0]
[*:3mlf0sb0] la moltiplicazione \(\displaystyle \cdot \) gode della proprietà distributiva rispetto alla somma. Ovvero \(\displaystyle a(b+c) = ab+ac \) e \(\displaystyle (b+c)a = ba+ca \) per ogni \(\displaystyle a,b,c\in A \). [/*:m:3mlf0sb0][/list:o:3mlf0sb0]
L'insieme \(\displaystyle (V,+, \times) \) soddisfa il punto 1 e il punto 3, ma non il punto 2.
Nota che un corpo è un anello unitario in cui ogni elemento possiede un inverso moltiplicativo. il prodotto vettoriale non possiede alcun elemento neutro, quindi, a maggior ragione, non possono esistere inversi moltiplicativi rispetto a questo prodotto.
Il tuo commento sul legame tra anticommutatività e la presenza, o meno, di un elemento neutro è senza alcun senso. Insomma, quasi tutti gli anelli con cui i matematici lavorano sono unitari. I quaternioni ce l'hanno! Non è altro che 1.
Tra l'altro Hamilton non si faceva certo problemi con l'antisimmetria data la struttura simplettica dei sistemi Hamiltoniani.
Un anello è una tripletta \(\displaystyle (A, +,\,\cdot\,) \) dove \(A\) è un insieme e \(\displaystyle +\colon A\times A\to A \) e \(\displaystyle \cdot\colon A\times A\to A \) sono due operazioni binarie tali che:
[list=1][*:3mlf0sb0] \((A,+)\) è un gruppo abeliano. Ovvero \(\displaystyle + \) è associativa, commutativa, ha un elemento neutro e ogni elemento di \(\displaystyle A \) possiede un inverso (generalmente denotato come \(\displaystyle -a \));[/*:m:3mlf0sb0]
[*:3mlf0sb0] la moltiplicazione \(\displaystyle \cdot \) gode della proprietà associativa;[/*:m:3mlf0sb0]
[*:3mlf0sb0] la moltiplicazione \(\displaystyle \cdot \) gode della proprietà distributiva rispetto alla somma. Ovvero \(\displaystyle a(b+c) = ab+ac \) e \(\displaystyle (b+c)a = ba+ca \) per ogni \(\displaystyle a,b,c\in A \). [/*:m:3mlf0sb0][/list:o:3mlf0sb0]
L'insieme \(\displaystyle (V,+, \times) \) soddisfa il punto 1 e il punto 3, ma non il punto 2.
Nota che un corpo è un anello unitario in cui ogni elemento possiede un inverso moltiplicativo. il prodotto vettoriale non possiede alcun elemento neutro, quindi, a maggior ragione, non possono esistere inversi moltiplicativi rispetto a questo prodotto.
Il tuo commento sul legame tra anticommutatività e la presenza, o meno, di un elemento neutro è senza alcun senso. Insomma, quasi tutti gli anelli con cui i matematici lavorano sono unitari. I quaternioni ce l'hanno! Non è altro che 1.
Tra l'altro Hamilton non si faceva certo problemi con l'antisimmetria data la struttura simplettica dei sistemi Hamiltoniani.
Vorrei darti ragione, ma vorrei spiegarti perchè ho ragione io.
mm.. che mi dici allora a proposito del ring action, cioè dell' azione dell'anello oppure dei $G$-Modules ?
Ti sei dimenticato la definizione fondamentale che sta dietro al vettore stesso
e quindi credo ti dimentichi che il verso opposto del vettore b * a = -a * b usando la regola della mano destra non fa del prodotto vettoriale anti-commutativo, non mi è sufficiente l'informazione perchè in matematica si parla di funzioni, lavoriamo su, da e per un piano diverso, non si può imporre una base fisica se facciamo matematica perchè i vettori agiscono da un piano non-fisico, superiore, quindi se il prodotto vettoriale è anti-commutativo non è affatto ovvio che lo siano nel piano dove agiscono: sono cosi nel piano.. fisico, non nel piano matematico.
Come rappresentazione vettoriale 'fisica' hai ragione tu, anche se tu mi scrivi b x a = -a x b mi fai vedere una formula 'fisica', grafica, non mi stai dimostrando la funzione matematica, mi stai solo 'mostrando' o dimostrando che è cosi sul piano fisico.
Ma se tu cambi la stessa rappresentazione dei vettori e quindi del prodotto vettoriale troverai che sottende una proprietà diversa, matematicamente ti renderai conto che non è piu anti-commutativo, ma fisicamente sei costretto a mostrare il contrario: è come lo specchio di Alice: riflette e ti fa vedere la tua immagine, ma se non lo attraversi non saprai mai che è una porta !
Quindi ciò che separa il piano matematico dal piano fisico è proprio la definizione di azione, in senso, però.. matematico! vedi qui
La proprietà commutativa non è una verità, ma un' identità, nel caso specifico non è il verso che 'fa' la proprietà di un vettore, ma è la norma del vettore, cioè il suo modulo.. bisogna ragionare per funzioni, non per 'visuali' del tipo b x a = -a x b.
Il vettore agisce nel piano matematico in un certo verso.. e si parla di versore.. ma nel piano fisico il vettore viene 'scalato' si riduce a 'verso' o direzione fisica..cose che in matematica invece possono assumere migliaia di altre forme - ti sembra dunque logico usare la regola della mano destra ??
Quella serviva a Fleming per i suoi lavori da ingegnere ! Non puoi ridurre la matematica sul piano dell' ingegnere, l'ingegnere la usa per i suoi scopi, ma il matematico deve fare matematica, non ingegneria.
Quel - dimostra che è anti-commutativa fuori dalla struttura vettoriale, nella riduzione sul piano fisico appunto, ma non è cosi dentro la struttura perchè dentro è funzione, è norma agisce come piano matematico.
Io parto rappresentando i vettori come moduli, dai group action, dal quoziente dell'azione (spazio dei coinvarianti), non parto nemmeno dagli insiemi perchè non ha senso tornare alle definizioni primitive e già qua.. si capisce che c'è qualcosa che non torna nella dimostrazione 'grafica' palese della 'regola della mano destra': il fatto che mi dimostrino una cosa come 'vera', non per questo io ci devo credere come tale perchè
1. partendo dalle strutture primitive e povere porto a irrigidire le definizioni
2. partendo da strutture o rappresentazioni piu ricche, riesco ad estrarre dallo sfondo, dal background, la proprietà matematica, non la versione 'fisica' adattata dai matematici per gli ingegneri e per i fisici.. eh no!
devo verificarlo di persona nel piano matematico e l'anticommutatività del prodotto vettoriale nel piano matematico non è anti-commutativa perchè tu me lo hai dimostrato nel piano fisico! No.
A me, invece torna che la proprietà commutativa è intrinseca del prodotto vettoriale.
Come azione, vedi qui a me la proprietà anti-commutativa non torna.
La commutatività del prodotto vettoriale, invece, credo sia nella sua rappresentazione implicita come funzione matematica ma fisicamente invisibile non nella sua dimostrazione come informazione fisica o matematicamente visibile, perchè è come confondere funzione matematica con informazione fisica.
P.S :: ricordo comunque che l'informazione fisica è sempre una misura matematica https://it.wikipedia.org/wiki/Misura_(matematica)..
anche quello che sto scrivendo direttamente qui, le 'parole', le frasi, le congiunzioni che vedi sono una misura, poi sta a te matematico trasformarle e usare le parole stesse come operatori, come insiemi, come quozienti. Devi dirmi tu come farlo, però ! non abbassarti a fare misure fisiche perchè quello lo deve fare il fisico, il matematico lavora su un piano piu alto e quindi riflette azioni diverse perchè il piano da cui lavora non riflette nello stessa maniera (perchè è diversa la sua funzione rispetto al fisico)
il prodotto vettoriale non possiede alcun elemento neutro
mm.. che mi dici allora a proposito del ring action, cioè dell' azione dell'anello oppure dei $G$-Modules ?
Ti sei dimenticato la definizione fondamentale che sta dietro al vettore stesso
una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva
e quindi credo ti dimentichi che il verso opposto del vettore b * a = -a * b usando la regola della mano destra non fa del prodotto vettoriale anti-commutativo, non mi è sufficiente l'informazione perchè in matematica si parla di funzioni, lavoriamo su, da e per un piano diverso, non si può imporre una base fisica se facciamo matematica perchè i vettori agiscono da un piano non-fisico, superiore, quindi se il prodotto vettoriale è anti-commutativo non è affatto ovvio che lo siano nel piano dove agiscono: sono cosi nel piano.. fisico, non nel piano matematico.
Come rappresentazione vettoriale 'fisica' hai ragione tu, anche se tu mi scrivi b x a = -a x b mi fai vedere una formula 'fisica', grafica, non mi stai dimostrando la funzione matematica, mi stai solo 'mostrando' o dimostrando che è cosi sul piano fisico.
Ma se tu cambi la stessa rappresentazione dei vettori e quindi del prodotto vettoriale troverai che sottende una proprietà diversa, matematicamente ti renderai conto che non è piu anti-commutativo, ma fisicamente sei costretto a mostrare il contrario: è come lo specchio di Alice: riflette e ti fa vedere la tua immagine, ma se non lo attraversi non saprai mai che è una porta !
Quindi ciò che separa il piano matematico dal piano fisico è proprio la definizione di azione, in senso, però.. matematico! vedi qui
La proprietà commutativa non è una verità, ma un' identità, nel caso specifico non è il verso che 'fa' la proprietà di un vettore, ma è la norma del vettore, cioè il suo modulo.. bisogna ragionare per funzioni, non per 'visuali' del tipo b x a = -a x b.
Il vettore agisce nel piano matematico in un certo verso.. e si parla di versore.. ma nel piano fisico il vettore viene 'scalato' si riduce a 'verso' o direzione fisica..cose che in matematica invece possono assumere migliaia di altre forme - ti sembra dunque logico usare la regola della mano destra ??
Quella serviva a Fleming per i suoi lavori da ingegnere ! Non puoi ridurre la matematica sul piano dell' ingegnere, l'ingegnere la usa per i suoi scopi, ma il matematico deve fare matematica, non ingegneria.
Quel - dimostra che è anti-commutativa fuori dalla struttura vettoriale, nella riduzione sul piano fisico appunto, ma non è cosi dentro la struttura perchè dentro è funzione, è norma agisce come piano matematico.
Io parto rappresentando i vettori come moduli, dai group action, dal quoziente dell'azione (spazio dei coinvarianti), non parto nemmeno dagli insiemi perchè non ha senso tornare alle definizioni primitive e già qua.. si capisce che c'è qualcosa che non torna nella dimostrazione 'grafica' palese della 'regola della mano destra': il fatto che mi dimostrino una cosa come 'vera', non per questo io ci devo credere come tale perchè
1. partendo dalle strutture primitive e povere porto a irrigidire le definizioni
2. partendo da strutture o rappresentazioni piu ricche, riesco ad estrarre dallo sfondo, dal background, la proprietà matematica, non la versione 'fisica' adattata dai matematici per gli ingegneri e per i fisici.. eh no!
devo verificarlo di persona nel piano matematico e l'anticommutatività del prodotto vettoriale nel piano matematico non è anti-commutativa perchè tu me lo hai dimostrato nel piano fisico! No.
A me, invece torna che la proprietà commutativa è intrinseca del prodotto vettoriale.
Come azione, vedi qui a me la proprietà anti-commutativa non torna.
La commutatività del prodotto vettoriale, invece, credo sia nella sua rappresentazione implicita come funzione matematica ma fisicamente invisibile non nella sua dimostrazione come informazione fisica o matematicamente visibile, perchè è come confondere funzione matematica con informazione fisica.
P.S :: ricordo comunque che l'informazione fisica è sempre una misura matematica https://it.wikipedia.org/wiki/Misura_(matematica)..
anche quello che sto scrivendo direttamente qui, le 'parole', le frasi, le congiunzioni che vedi sono una misura, poi sta a te matematico trasformarle e usare le parole stesse come operatori, come insiemi, come quozienti. Devi dirmi tu come farlo, però ! non abbassarti a fare misure fisiche perchè quello lo deve fare il fisico, il matematico lavora su un piano piu alto e quindi riflette azioni diverse perchè il piano da cui lavora non riflette nello stessa maniera (perchè è diversa la sua funzione rispetto al fisico)
Ora ti mostro la ragione per cui il prodotto vettoriale non è anti-commutativo come verità, ma come identità. Vedrai, se hai occhi per vedere oltre il piano fisico della dimostrazione (sei un matematico!) che il verso del vettore non cambia perchè ciò che cambia è la norma, cioè la funzione del vettore, questo, però, si riflette come proprietà anti-commutativa, nel piano fisico, ma nel piano matematico, questa proprietà cambia la norma del vettore - che però tu, matematico, non riesci a vedere !!
Porca paletta, guarda oltre la consistenza gelatinosa dei nostri occhi bovini !
Il verso fisico non cambia veramente, perchè in verità il vettore ne inflette la norma (il versore credo che agisca come punto di inflessione), generando sul piano fisico, però, un verso opposto.
Si, questo non vuol dire che il prodotto vettoriale sia commutativo per definizione, però, posso dire che non è vero per definizione l'anti-commutatività.
Per capirlo, però, bisogna lavorare proprio con le forme bilineari.. Ti cito la risposta di un utente nel contesto delle isometrie (nel caso particolare si parlava di riflessioni) che ho usato applicandola nel contesto della natura del prodotto vettoriale..
Questo è quello che è stato fatto quando si ha definito l'anticommutazione come proprietà (la proprietà è una relazione unaria).
L'anti-commutazione è una proiezione (agisce come prodotto vettoriale), l'anti-commutatore (operatore) agisce come proiettore
Welcome to the Real World..
Porca paletta, guarda oltre la consistenza gelatinosa dei nostri occhi bovini !
Il verso fisico non cambia veramente, perchè in verità il vettore ne inflette la norma (il versore credo che agisca come punto di inflessione), generando sul piano fisico, però, un verso opposto.
Si, questo non vuol dire che il prodotto vettoriale sia commutativo per definizione, però, posso dire che non è vero per definizione l'anti-commutatività.
Per capirlo, però, bisogna lavorare proprio con le forme bilineari.. Ti cito la risposta di un utente nel contesto delle isometrie (nel caso particolare si parlava di riflessioni) che ho usato applicandola nel contesto della natura del prodotto vettoriale..
When you look in the mirror, things on one side of the mirror appear as if they were on the other side (so they seem to have "moved"), but the surface of the mirror itself appears to remain fixed ("unmoved"). Such is the nature of a reflection transformation on an affine space
Questo è quello che è stato fatto quando si ha definito l'anticommutazione come proprietà (la proprietà è una relazione unaria).
L'anti-commutazione è una proiezione (agisce come prodotto vettoriale), l'anti-commutatore (operatore) agisce come proiettore
Welcome to the Real World..
Come se fosse antani, con scappellamento a sinistra...
[xdom="gugo82"]Chiudo.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Chiudo.[/xdom]
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