Esame d'Algebra. Argomento Polinomi. Chi sa aiutarmi???

[Mariano861]

Salve ragazzi, oggi ho fatto l'esame scritto d'Algebra ed è uscito sul compito:

Nell' anello Z3[x] descrivere esplicitamente:

1) L'insieme dei polinomi invertibili
2) L'insieme dei polinomi associati a X^2(x al quadrato)+1
3) L'insieme dei polinomi di grado 1
4) L'insieme dei polinomi di grado 2 che ammettono 0 e 1 come radici.


Chi sa dirmi qualcosa??? Ne sarei veramente riconoscente se sapreste rispondermi...
Ringrazio anticipatamente

[gugo82]

"Mariano86":Salve ragazzi, oggi ho fatto l'esame scritto d'Algebra ed è uscito sul compito:

Nell' anello Z3[x] descrivere esplicitamente:

1) L'insieme dei polinomi invertibili
2) L'insieme dei polinomi associati a X^2(x al quadrato)+1
3) L'insieme dei polinomi di grado 1
4) L'insieme dei polinomi di grado 2 che ammettono 0 e 1 come radici.


Chi sa dirmi qualcosa??? Ne sarei veramente riconoscente se sapreste rispondermi...
Ringrazio anticipatamente

Ti rispondo anche se con qualche condizionale di troppo, perchè di Algebra mi ricordo davvero poco!
(Però sono sicuro che in giornata qualche esperto ti saprà aiutare di più!)

1) In generale, se $K$ è un dominio d'integrità unitario, sono invertibili in $K[X]$ tutti e soli i polinomi di grado zero che hanno il coefficiente invertibile in $K$: poichè $ZZ_3$ è addirittura un campo, i polinomi invertibili in $ZZ_3[X]$ sono ${bar1, bar2}$.

2) Se non vado errato, due polinomi $p,q in K[X]$ si dicono associati quando esiste un polinomio $u$ invertibile in $K[X]$ tale che $q=u*p$. Visto che i polinomi invertibili in $ZZ_3[X]$ sono ${bar1,bar2}$, i polinomi associati ad $X^2+bar1$ sono ${X^2+bar1, bar2 X^2+bar2}$.

3) L'insieme che ti interessa è ${X, X+bar1, X+bar2, bar2 X, bar2 X+bar1, bar2 X+bar2}$.

4) Si dovrebbero ottenere tenendo presente che un polinomio $p in K[X]$, con $K$ dominio d'integrità, che abbia $c_1, c_2in K$ come zeri è divisibile per il prodotto $(X-c_1)*(X-c_2)$; essendo $(X-c_1)*(X-c_2)$ e $p$ di secondo grado e valendo la Regola d'Addizione dei Gradi in $K[X]$, il quoziente della divisione di $p$ per $(X-c_1)*(X-c_2)$ ha da essere un polinomio di grado zero, onde $p=a*(X-c_1)*(X-c_2)$ con $a in K-{0_K}$. Nel nostro caso troviamo $p=X*(X-bar1)=X^2-X$ oppure $p=bar2*(X^2-X)$, quindi l'insieme che cerchi è ${X^2-X,bar2 X^2-bar2 X}$.

Spero di non aver toppato!

[antony_88]

ciao a tutti

volevo chiederti nel terzo punto come hai fatto a determinare l'insieme?