Es su inversi e divisori dello zero in anello di polinomi

[rikytoro1]

Ciao a tutti!ho un problema a risolvere l'es seguente, il testo è: sia f(x)=x³+2 ϵ Z5[x] e I=ideale di Z5[x]:
- si mostri che (x²+x+1)+I è invertibile in Z5[x]/I e si determini l'inverso;
- si mostri che (x-2)+I è un divisore dello zero in Z5[x]/I.
Io ho osservato che Z5[x]/I={ax²+bx+c+I|a,b,c ϵ Z5[x]}, l'unita dell'anello è 1+I mentre lo zero è I; un elemento è invertibile se esiste un altro elemento che moltiplicato con esso dà l'unità quindi ho impostato l'equazione: [(x²+x+1)+I][(ax²+bx+c)+I]=1+I. Ciò equivale a risolvere (x²+x+1)(ax²+bx+c)=1.Per risolverla alla fine ho impostato il sistema che però non ha soluzioni.
Nel secondo caso ho sempre usato la definizione di divisore dello zero, quindi [(x-2)+I][(ax²+bx+c)+I]=I, ovvero (x-2)(ax²+bx+c)=0 e sempre impostando il sistema mi risulta a=b=c=0.
Grazie per il vostro aiuto!

[Studente Anonimo]

Ciao,
per favore scrivi le formule col mathml (risulta piu' chiaro), puoi impararlo in questa pagina.

Stai facendo un errore concettuale importante: tu passi da $(a+I)(b+I)=c+I$ a $ab=c$. Questo e' sbagliato.
Scrivere $(a+I)(b+I)=c+I$ e' equivalente a scrivere $ab-c in I$.
E appartenere a $I$ non significa essere zero, ma (nel tuo caso) essere un multiplo di $f(x)=x^3+2$.

Nel tuo caso per esempio questo:

$[(x^2+x+1)+I] * [(ax^2+bx+c)+I]=1+I$

e' equivalente a questo:

$(x^2+x+1)(ax^2+bx+c)-1 in I$

- per trovare l'inverso di un polinomio $g(x)$ in $Z_5[X]//(f(x))$ invertibile il metodo standard e' applicare l'algoritmo di Euclide a $f(x)$ e $g(x)$ per trovare una relazione del tipo $alpha(x)f(x)+beta(x)g(x) = 1$. Infatti riducendo modulo $f(x)$ questa relazione si trova proprio $beta(x)g(x)+I=1+I$, ovvero la classe di $beta(x)$ e' proprio l'inverso di $g(x)$.
- per capire i divisori dello zero e' conveniente fattorizzare il polinomio $f(x)$ (quello che "definisce" lo zero) in $Z_5[X]$.

[rikytoro1]

OK...grazie mille!ora ho capito!