Es su costruzione campo di spezzamento

[rikytoro1]

Ciao a tutti!
Il testo è: determinare il campo di spezzamento del polinomio $f(x)=(x^2+1)(2*x^2+x+1)$ $in$ $ZZ_3[x]$.
Ho notato che i due fattori sono irriducibili e ho cercato i campi di spezzamento di ognuno dei due fattori separatamente.
Posto $\beta$ radice di $x^2+1$, $ZZ_3(\beta)$è isomorfo a $(ZZ_3[x]) / ()$,$ZZ_3(\beta)={a\beta+b|a,b in ZZ_3}={0,1,2,\beta,\beta+1,\beta+2,2\beta,2\beta+1,2\beta+2}$ inoltre $(x-\beta)|(x^2+1)$ per il teorema di Ruffini. Facendo la divisione mostro che $x^2+1=(x-\beta)(x+\beta)$, quindi è scomponibile in fattori lineari, quindi $ZZ_3(\beta)$è campo di spezzamento.
Faccio lo stesso ragionamento sul secondo fattore e scopro che $2*x^2+x+1= (x-\gamma)(2*x+1+2*\gamma)$,posta $\gamma$ la radice del polinomio, quindi $ZZ_3(\gamma)$ è campo di spezzamento del secondo fattore. Allora $ZZ_3(\beta)(\gamma)$ è campo di spezzamento di $f(x)$.
è giusto come l'ho risolto?
grazie mille!

[elijsa1]

ok io farei cosi: siccome $x^2+1$ è irriducibile in $ZZ_3$ aggiungo una radice $a$ tale che $a^2=-1$. so che $a=i$ bene quinid il campo di spezzamento di $x^2 +1$ è $ZZ_3 (i)$. per il secondo polinomio che $2x^2 +x+1$ è vero che è irriducibile in $ZZ_3$ ma lo è anche in $ZZ_3 (i)$? per saperlo devo prendere la base di $ZZ_3 (i)$. e capire se esistono $a ,b in ZZ_3$ tali che $a+ib$ sia radice. in questo caso quindi si tratta di vedere se $2(a+ib)^2 + (a+ib) +1 =0 $ ha soluzione per qualche a,b di $ZZ_3$. se ce l'ha allora il campo di spezzamento è $ZZ_3 (i)$ altrimenti devi aggiungere una radice $b$ e fare la divisione di $2x^2 +x+1$ per $x-b$

[rikytoro1]

ok...grazie mille!!