Es. Sottogruppi ciclici <g>

[raffa071292]

Salve ragazzi, mi trovo di fronte ad un esercizio sui sottogruppi ciclici. Qualcuno mi saprebbe dire se la mia soluzione è corretta?

Esercizio:
Si consideri il gruppo $(ZZ, +)$.
a) Considerati i sottogruppi ciclici $<6>, <9>, <5>$ si trovino esplicitamente gli insiemi $<6> nn <9>$ e $<5> nn <9>$.
Questi due sottoinsiemi di $ZZ$ sono anch'essi sottogruppi? In caso di risposta affermativa, trovare il loro generatore.
b) Dimostrare che per ogni $a,b in ZZ, nn $ è sottogruppo di $ZZ$, generato da $MCD(a,b)$.

Svolgimento:
a) parto con il definire i tre sottogruppi $<6>, <9>, <5>$
$<6> = {6n | n in ZZ}$
$<9> = {9n | n in ZZ}$
$<5> = {5n | n in ZZ}$

l'intersezione di $<6> e <9>$ è il sottogruppo ciclico generato dall'MCD di $6$ e $9$ quindi $MCD(6,9)=3$ allora abbiamo
$<6> nn <9> = {3n | n in ZZ}$

mentre l'intersezione di $<5> e <9>$ è il sottogruppo ciclico generato dall'MCD tra $5$ e $9$ quindi $MCD(5,9)=1$ allora abbiamo $<5> nn <9> = {1n | n in ZZ}$

Per verificare che siano entrambi sottogruppi dobbiamo verificare che in essi l'operazione somma sia chiusa, che esista l'elemento neutro ed infine che esista l'opposto.

Partiamo da $<6> nn <9> = {3n | n in ZZ}$
- L'operazione somma è chiusa perchè presi $a,b in <3>$ abbiamo $a+b = 3a+3b = 3(a+b)$
- l'elemento neutro è $e=0$ t.c. $a+e = a$ infatti si ha $3a+0 = 3a$
- l'opposto è l'elemento $-a$ t.c. $a+(-a) = e$ ed abbiamo che $3a+(-3a) = 0$

Ora verifichiamo $<5> nn <9> = {1n | n in ZZ}$
- L'operazione somma è chiusa perchè presi $a,b in <1>$ abbiamo $a+b = a+b$
- l'elemento neutro è $e=0$ t.c. $a+e = a$ infatti si ha $a+0 = a$
- l'opposto è l'elemento $-a$ t.c. $a+(-a) = e$ ed abbiamo che $a+(-a) = 0$

b) denotiamo con $d$ l'$MCD$ tra $a$ e $b$ allora abbiamo il sottogruppo generato da $d$ che si denota con
$ = {dn | n in ZZ}$
- L'operazione somma è chiusa perchè presi $a,b in $ abbiamo $a+b = da+db = d(a+b)$
- l'elemento neutro è $e=0$ t.c. $a+e = a$ infatti si ha $da+0 = da$
- l'opposto è l'elemento $-a$ t.c. $a+(-a) = e$ ed abbiamo che $da+(-da) = 0$

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Dato il tempo trascorso (almeno venticinque anni, ahimè), non sono più molto ferrato in materia, quindi mi scuso per eventuali mie inesattezze.

"darkfog":
l'intersezione di $ <6> e <9> $ è il sottogruppo ciclico generato dall'MCD di $ 6 $ e $ 9 $ quindi $ MCD(6,9)=3 $ allora abbiamo
$ <6> nn <9> = {3n | n in ZZ} $

Avrei qualche dubbio, in merito a quanto sopra citato; se così fosse, si avrebbe, assurdamente, che $3 in <6>$ e che $3 in <9>$; non dovrebbe essere calcolato $MCD(6,9)=3$, semmai $mcm(6,9)=18$; infatti un numero intero è multiplo sia di 6 che di 9 se lo è di 18; infatti:

$<6> ={...,-18,-12,-6,0,6,12,18,...}$

$<9> ={...,-27,-18,-9,0,9,18,27,...}$

quindi

$<6>nn<9> ={...,-18,0,18,...}= <18>$

Inoltre, relativamente al secondo punto, si tenga presente questo risultato generale: dato un gruppo $G$ e due suoi sottogruppi $H_1$ e $H_2$, l'intersezione tra i due sottogruppi $H_1 nn H_2$ è a sua volta sottogruppo di $G$, fatto, quest'ultimo, facilmente dimostrabile.

Saluti.

[onlyReferee]

Ciao darkfog
Ciò che non mi torna nel tuo svolgimento, come fatto notare da alessandro8, è come viene determinato il generatore dell'intersezione dei sottogruppi ciclici. In particolare non dovremmo utilizzare l'MCD ma l'mcm (e pertanto risulterebbe che la dimostrazione della seconda parte della b è falsa).
Riguardo al punto b, per dimostrare che $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ è sottogruppo di $ZZ$ è necessario intanto mostrare che tale insieme non è vuoto (è una delle proprietà di un gruppo, abbastanza banale da dimostrare). Successivamente occore provare anche la chiusura e tale proprietà può essere formulata nel modo seguente: $x, y \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle \text{ se e solo se } xy \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle$.

[raffa071292]

Ciao ragazzi.. grazie per l'intervento ho fatto una figuraccia colossale Avete ragione. Ora provo a svolgere meglio l'esercizio grazie agli accorgimenti che mi avete dato.

punto a)
$ <6>nn<9> = <18> $. verifichiamo che sia un sottogruppo di $ZZ$
- $AA a,b in <18>, a+b in <18>$
abbiamo $a+b = 18a+18b = 18(a+b) in <18>$
- se $e$ è l'elemento neutro del gruppo $ZZ$ (in questo caso è $0$), allora $e in <18>$
abbiamo $a + e = 18a + 0 = 18a in <18>$
- $AA a in <18>, EEb in <18> t.c. a+b=e$
abbiamo $18a+(-18b) = 18a-18b = 18(a-b) in <18>$

stesso ragionamento per $ <5> nn <9> = <45> $, ( $mcm(5,9)=45$ ), verifichiamo che sia un sottogruppo di $ZZ$
stesse verifiche fatte per il sottogruppo $<18>$
- $a+b = 45a+45b = 45(a+b) in <45>$
- $e in ZZ rArr e in <45>$. Si ha $a+e = 45a + 0 = 45a in <45>$
- $45a+(-45b) = 45a-45b = 45(a-b) in <45>$

riguardo il punto b) non capisco ora come muovermi. Cioè
se per esempio prendo $a=2, b=4 in ZZ$ e calcolo $<2>nn<4>$ che si suppone generato da $MCD(2,4)=2$, risulta falso perchè $<2>nn<4>$ è in realtà equivalente a $<4> = {4n | n in ZZ}$ generato dall'$mcm(2,4)=4$


Domandina: Se mi trovassi davanti all'unione di due sottogruppi ciclici, come mi dovrei comportare? ad esempio $<6> uu <9>$, dovrei calcolare $6*9=54 rArr <54> = {54n | n in ZZ}$ ?

[Sk_Anonymous]

"darkfog":Ciao ragazzi.. grazie per l'intervento ho fatto una figuraccia colossale

Nessun problema, siamo qua apposta per discutere e per chiarire.

Per quanto riguarda l'elemento neutro, non serve dimostrare che l'elemento neutro di un gruppo si comporta come tale anche nel sottogruppo, basta verificarne l'appartenenza al sottogruppo medesimo.

"darkfog":
Domandina: Se mi trovassi davanti all'unione di due sottogruppi ciclici, come mi dovrei comportare? ad esempio $ <6> uu <9> $, dovrei calcolare $ 6*9=54 rArr <54> = {54n | n in ZZ} $ ?

Attenzione, in generale l'unione di sottogruppi non è un sottogruppo; l'unione di due sottogruppi risulta essere sottogruppo unicamente nel caso in cui uno dei due sottogruppi contenga l'altro, quindi $<6> uu <9>$ non è sottogruppo di $ZZ$.

Controesempio: dati $6,9 in <6> uu <9>$, si ha che $6+9=15 notin <6> uu <9>$.

Saluti.

[raffa071292]

ciao alessandro8 grazie per questa precisazione sull'unione di sottogruppi. Vorrei capire una cosa
in questo caso tu hai sommato $6+9$ perchè ci troviamo in un gruppo con operazione somma? oppure in generale l'unione comporta l'operazione somma? Se ci trovassimo in $ZZ$ con operazione prodotto dovremmo calcolare $6*9$? in questo caso l'unione dei sottogruppi sarebbe ancora un sottogruppo? dato che $54 in <6> e in <9>$ ?

[Sk_Anonymous]

"darkfog":ciao alessandro8 grazie per questa precisazione sull'unione di sottogruppi. Vorrei capire una cosa
in questo caso tu hai sommato $ 6+9 $ perchè ci troviamo in un gruppo con operazione somma?

In questo caso si è proceduto in quel modo perchè il gruppo "ambiente" era dato da $(ZZ,+,0)$.

"darkfog":Se ci trovassimo in $ ZZ $ con operazione prodotto dovremmo calcolare $ 6*9 $? in questo caso l'unione dei sottogruppi sarebbe ancora un sottogruppo? dato che $ 54 in <6> e in <9> $ ?

Questo esempio non "regge", perchè $(ZZ,*,1)$ è un monoide, ma non è un gruppo.

In generale, dato un gruppo $(G, star,e)$ e dato un sottoinsieme $H$ di $G$, $H$ è sottogruppo di $G$ se:

1) $einH$
2) $x,y inH Rightarrow xstary in H AA x,y in H$
3) $x inH Rightarrow x^(-1)inH AA x in H$

Naturalmente $star$ è la stessa operazione del gruppo "ambiente" $G$ e $x^(-1)$ è l'elemento inverso (nel caso di gruppi additivi, elemento "opposto") di $x in G$.

In parole povere $H$ "eredita" da $G$ la sua struttura algebrica.

Circa l'unione di due sottogruppi diversi dello stesso gruppo, ripeto quello che avevo già scritto nel mio post precedente: l'unione di due sottogruppi risulta essere sottogruppo unicamente nel caso in cui uno dei due sottogruppi contenga l'altro.

Saluti.

[onlyReferee]

"darkfog":
[...]
riguardo il punto b) non capisco ora come muovermi. Cioè
se per esempio prendo $a=2, b=4 in ZZ$ e calcolo $<2>nn<4>$ che si suppone generato da $MCD(2,4)=2$, risulta falso perchè $<2>nn<4>$ è in realtà equivalente a $<4> = {4n | n in ZZ}$ generato dall'$mcm(2,4)=4$
[...]

Difatti è vera solo la prima parte, la seconda è falsa e lo si può mostrare con vari controesempi. Ora non so se effettivamente l'esercizio presupponesse che chi lo svolge si dovesse accorgere che la seconda parte non è vera oppure che ci sia semplicemente un errore nel testo dello stesso.
In ogni caso la prima parte è dimostrabile come ti accennavo nell'altro mio post precedente.

[raffa071292]

ciao onlyReferee
Vediamo se ho capito.. quindi il punto b) mi chiede di dimostrare che i sottogruppi $nn AA a,b in ZZ$, vengono generati dal loro $MCD(a,b)$ ma come abbiamo visto si arriva ad una contraddizione dato che l'intersezione di due sottogruppi ciclici può dar luogo solo ad un sottogruppo ciclico generato dall'$mcm(a,b)$.
$mcm(a,b)=D rArr = {Dn | n in ZZ}$
Verifichiamo che $AA a,b in ZZ, nn = $ risulta essere sempre un sottogruppo di $ZZ$.
(cerco di aiutarmi con una dimostrazione generica che ho sulle mie dispense trasformandola in dimostrazione per un gruppo $(G,+)$ )
Verifichiamo le 3 proprietà per le quali $$ può essere ritenuto sottogruppo. (in questo caso ci troviamo in $(ZZ, +, 0)$ quindi viene indotta la notazione additiva anche sui sottogruppi.
Def: Sia $(ZZ, +, 0)$ un gruppo e consideriamo $ sube ZZ$ . $$ è un sottogruppo di $ZZ$ se $(, +, 0)$ è un gruppo. Più precisamente:
- $AA a,b in , a+b in $.
- Se $e=0$ è l'elemento neutro in $ZZ$ per l'operazione $+$, allora $e in $.
- $AA a in , (-a) in $.

$$ è sottogruppo di $ZZ$ se e solo se $!=\emptyset$ e per ogni $a,b in , a+(-a) in $.
Dimostrazione:
Se $$ è un sottogruppo di $(ZZ,+)$, allora sicuramente $!=\emptyset$ e inoltre se $a in $, anche $(-a) in $, inoltre per ogni $a,b in , a+b in $. Allora per ogni $a,b in t.c. b=(-a) rArr a+b = a+(-a) in $

Consideriamo $a,b in $: $a=Dn$ e $b=Dm$ con $n,m in ZZ$. L'intero $a-b$ appartiene a $$, infatti $a-b=Dn-Dm=D(n-m) in $.

[onlyReferee]

"darkfog":[...]
Dimostrazione:
Se $$ è un sottogruppo di $(ZZ,+)$, allora sicuramente $!=\emptyset$ e inoltre se $a in $, anche $(-a) in $, inoltre per ogni $a,b in , a+b in $. Allora per ogni $a,b in t.c. b=(-a) rArr a+b = a+(-a) in $

Consideriamo $a,b in $: $a=Dn$ e $b=Dm$ con $n,m in ZZ$. L'intero $a-b$ appartiene a $$, infatti $a-b=Dn-Dm=D(n-m) in $.

Ciao darkfog
Questo punto non mi torna. In particolare non capisco perché se dobbiamo dimostrare che $\langle D \rangle$ è sottogruppo di $(ZZ, +)$ supponi vera la tesi per avanzare nella dimostrazione...
E' più semplice procedere nel modo seguente. $\langle D \rangle = \langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ per essere sottogruppo innanzitutto non deve essere vuoto e questo è facilmente verificabile pensando a qual è quell'elemento particolare (e qui ti ho aiutato) che sicuramente è comune ai due sottogruppi di cui poi si effettua l'intersezione. Poi è sufficiente sfruttare l'ipotesi che $\langle a \rangle$ e $\langle b \rangle$ sono sottogruppi. In particolare se prendo due elementi $x, y \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ mi posso chiedere se $x + y$ apparterrà anche al mio $\langle D \rangle$ (se pensi alle ipotesi è molto rapido concludere affermativamente). Ora, data l'arbitrarietà di questi due elementi, si può tranquillamente estendere il ragionamento anche a $-x$ e $-y$.

[Sk_Anonymous]

"alessandro8":
Inoltre, relativamente al secondo punto, si tenga presente questo risultato generale: dato un gruppo $ G $ e due suoi sottogruppi $ H_1 $ e $ H_2 $, l'intersezione tra i due sottogruppi $ H_1 nn H_2 $ è a sua volta sottogruppo di $ G $, fatto, quest'ultimo, facilmente dimostrabile.

...oppure, più semplicemente (citando me stesso nel mio primo post di questo topic), sfruttare questo risultato generale, dimostrabile in questo modo (v. testo nascosto).

Siano $H_1,H_2$ sottogruppi dello stesso gruppo $(G,star,e)$

1) per ipotesi, l'elemento neutro $e$ di $G$ appartiene sia a $H_1$ che a $H_2$, quindi $e in H_1 nn H_2$;

2) siano $x,y in H_1 nn H_2$; quindi $x,y in H_1$ e $x,y in H_2$, ma $H_1,H_2$ sono entrambi sottogruppi, quindi si ha

$xstary in H_1$ e $xstary in H_2$

cioè $xstary in H_1 nn H_2$

3) sia $x in H_1 nn H_2$ e sia $x^-1 in G$ elemento inverso di $x$ in $G$; bisogna far vedere che $x^-1 in H_1 nn H_2$;

$x in H_1 nn H_2$, quindi $x in H_1$ e $x in H_2$

Siccome $H_1,H_2$ sono entrambi sottogruppi, allora si deve avere

$x^-1 in H_1$ e $x^-1 in H_2$, cioè $x^-1 in H_1 nn H_2$.

Questo dimostra, senza bisogno di verifiche appositamente dedicate al tema specifico, che, dal momento che $$ e $$ sono sottogruppi di $(ZZ,+;0)$, anche $ nn $ è sottogruppo di $(ZZ,+;0)$.

Poi, effettivamente, si tratta di dimostrare che $ nn = $, ma questo è un altro discorso.

Saluti.

[raffa071292]

Grazie ragazzi per tutte queste precisazioni. Ora ho un sacco di informazioni in testa. devo mettere un po' di ordine.

onlyReferee, non riesco a capire questa parte.

Poi è sufficiente sfruttare l'ipotesi che $〈a〉$ e $〈b〉$ sono sottogruppi. In particolare se prendo due elementi $x,y∈〈a〉∩〈b〉$ mi posso chiedere se$ x+y$ apparterrà anche al mio $〈D〉$ (se pensi alle ipotesi è molto rapido concludere affermativamente). Ora, data l'arbitrarietà di questi due elementi, si può tranquillamente estendere il ragionamento anche a $-x$ e $-y$.

intanto si può subito verificare che i sottogruppi non sono vuoti grazie alla presenza dell'elemento neutro come mi hai fatto notare. la presenza di $e=0 in ZZ$ è indotta anche sui suoi sottogruppi quindi $e in $, $e in $, $e in = nn$.

Ora non capisco come verificare la veridicità di $x+y in $ prendendo gli elementi $x, y in nn$

Se $nn = = {Dn | n in ZZ}$ allora $x$ ed $y$ sono nella forma $x = Dn_1$ ed $y=Dn_2$. Cosa non sto capendo?

[onlyReferee]

Ok, hai colto l'informazione sull'elemento neutro.
Riguardo al resto, attenzione: io intanto sto eseguendo la dimostrazione del fatto che $\langle D \rangle$ è sottogruppo di $ZZ$, non del fatto che sia generatore (non voglio mischiare la dimostrazione di più proprietà).

[raffa071292]

Scusami onlyReferee continuo a non capire. Mi sto perdendo.

$$ è sottogruppo di $ZZ$ perchè soddisfa tutte le proprietà per essere un sottogruppo.
- possiede elemento neutro ereditato da $ZZ$
- l'operazione $+$ è chiusa in $$
- esiste l'opposto che è $(-a)$

quali altre verifiche devo fare per dimostrare che il sottogruppo $nn$ è generato dall'$mcm(a,b)=D$? Ma più che altro, Se gli elementi di $$ sono in forma $a=Dn$, gli elementi di $nn$ che forma hanno?

[onlyReferee]

Per verificare il secondo punto si può procedere in maniera abbastanza semplice e lineare così. Ripartiamo dalle definizioni di $\langle a \rangle$ e $\langle b \rangle$:

[*:kzu9bs02]$\langle a \rangle = \{an, n \in Z\}$;[/*:m:kzu9bs02]
[*:kzu9bs02]$\langle b \rangle = \{bm, m \in Z\}$.[/*:m:kzu9bs02][/list:u:kzu9bs02]
A partire da queste definizioni possiamo esplicitare anche quella di $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle$, ossia: $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{{ai}_{i \in ZZ} \in \langle a \rangle \cup {bj}_{j \in ZZ} \in \langle b \rangle | a_i = b_j\}$. Dato che deve valere $a_i = b_j$, questo significa che i valori che devono appartenere alla nostra intersezione devono essere multipli sia di $a$ che di $b$. Ecco, dovendo generarli tutti questi elementi possiamo scegliere $D = \min{ai}_{i > 0}$ (oppure, in maniera del tutto equivalente, $D = \min{bj}_{j > 0}$) in modo da rappresentarli in maniera concisa. Questo non è nient'altro che il minimo multiplo comune tra $a$ e $b$ e dunque $D = \mcm(a, b)$. Riassumendo possiamo riscrivere la nostra intersezione come: $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \langle D \rangle$.

[raffa071292]

Ciao onlyReferee
ti ringrazio sei stato chiarissimo. Ho ancora un'altra domanda: una volta definito il sottogruppo $nn$ e dimostrato che si tratta del sottogruppo generato dall'$mcm(a,b)=D$, bisognerebbe fare le opportune verifiche per capire se entrambi siano sottogruppi? O basterebbe verificarne uno dei due, una volta conclusa la dimostrazione che si tratta del medesimo sottogruppo?

[onlyReferee]

Ciao darkfog
Non sono convinto di aver colto a pieno il tuo dubbio...
In realtà la dimostrazione che l'intersezione dei due sottogruppi $\langle a \rangle$ e $\langle b \rangle$ è ancora sottogruppo è già bella e fatta, così come il fatto che $\langle D \rangle$ sia il generatore del sottogruppo risultato di tale intersezione.

[raffa071292]

Scusami forse mi sono espresso male. Il punto b) chiede di dimostrare se $nn$ è sottogruppo di $ZZ$.
Vorrei capire se la verifica delle 3 proprietà per essere sottogruppo la si debba fare su $$ una volta dimostrato che equivale a $nn$

[onlyReferee]

Ah, ok, ora ho capito.
In realtà se ci pensi bene non occorre dimostrarlo semplicemente per il fatto che è un caso particolare della dimostrazione che abbiamo già svolto considerando un gruppo generico e l'intersezione di due suoi sottogruppi anziché $ZZ$.
Giusto per chiarire è come se ti dicessi: dimostrami che in un triangolo rettangolo avente cateti lunghi $4 cm$ e $3 cm$ l'ipotenusa vale $5 cm$. Di fatto se mi dimostri il teorema di Pitagora sei a posto.