Errori dimostrazioni per induzione

[Darèios89]

Ciao a tutti, commetto degli errori in alcune dimostrazioni per induzione e non riesco a raccapezzarmi.

Dimostrare mediante induzione che, per ogni [tex]n\geq 4[/tex]
[tex]n!>2^n[/tex]

Il caso base è [tex]n\geq 4[/tex]

Ora suppongo dia vera P(n) e provo a dimostrare P(n) -->P(n+1)

[tex](n+1)!>2^{n+1}[/tex]

Diventa

[tex]n!(n+1)>2^n*2[/tex]

Credo manchi qualcosa....di solito si usa l'ipotesi induttiva, che in questo caso non so come sostituire.

Poi Dimostrare mediante induzione che, per ogni n > 0,

[tex]\frac{n(3n-1)}{2}=\sum_{i=1}^{n}(3i-2)[/tex]

Caso base P(1)

Al solito suppongo vera per n e faccio la dimostrazione

[tex]\frac{(n+1)(3(n+1)-1)}{2}=\sum_{i=1}^{n+1}(3(n+1)-2)[/tex]

Posso scrivere la sommatoria tenendo conto dell'ipotesi induttiva come

[tex]\frac{n(3n-1)}{2}+(n+1)[/tex]

e quindi

[tex]\frac{n(3n-1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(3n+2)}{2}[/tex]

Ma l'uguaglianza è falsa...dove sbaglio?

[BoG3]

"Darèios89":
Il caso base è [tex]n\geq 4[/tex]

Credo che il caso base sia $n=4$ e non $n>=4$.

ora, se li porti da $n$ a $n+1$ ottieni a sinistra:
$(n+1)!$ che come dici tu puoi vedere come: $n!(n+1)$. Quindi è come se tu al passo precedente dove avevi $n!$ aggiungessi, moltiplicandolo coll termine successivo $(n+1)$. per bilanciare il tutto puoi farlo anche a destra e il tuo $2^n$ non diventa $2^(n+1)$ ma $2^n(n+1)$ e quindi ti trovi in una forma:
$n!(n+1)>=2^n(n+1)$ da cui io farei: $n!(n+1)>=2^n(n+1)>=n*2^n +2^n >=2*2^n =2^(n+1) $.
Ponendo $n=2$ ho minorato il termine e mantenuto la disuguaglainza.

Se ho sparato una cazzata ... meglio così, imparero' anche io, dato che ho cominciato proprio oggi con questo