Errore libro teorema sui gruppi finiti ?

[alby9411]

In questa dimostrazione dice che $alpha_i$ è permutazione di $S_n$ giustamente , ma allora sono n! le permutazioni di $S_n$ ed è sbagliato chiamare $alpha_i$ la permutazione di $i$ elementi, siccome $i$ va da 1 ad n ...sicuramente mi sto confondendo..

[vict85]

Il libro mi sembra corretto. Cosa sarebbe \(k\) nel tuo ragionamento?

[Studente Anonimo]

Ma lui non vuole trovare tutte le $n!$ permutazioni, gliene bastano $n$.

[alby9411]

Non può dire che quella permutazione sia di S_n e che ha indice $i$ che va da uno ad n... sbaglio ?

[vict85]

Sinceramente non capisco cosa pensi non possa dire.

Prendi \(G=\mathbb{Z}_5\). Enumero gli elementi nel modo ovvio. L'elemento 2 viene associato alla permutazione \((2\,4\,1\,3\,5)\) dove ho identificato 0 con 5 per evitare lo 0 nella permutazione.

[alby9411]

Non ho capito l'associazione che hai fatto. E non ho ancora capito perché è giusto dire che le permutazioni di $S_n$ sono $n$ e non $n!$

[vict85]

No, non sta dicendo che sono \(n\) stai dicendo che ne stai considerando \(n\). Il gruppo non è isomorfo a \(S_n\) ma ad un suo sottogruppo.

[alby9411]

Forse ho capito,sapevo che il gruppo era isomorfo ad un sottogruppo, ma nella dimostrazione non menziona mai questo sottogruppo e dice che la permutazione appartiene ad $S_n$ (ovviamente ) ma appartiene anche al suo sottogruppo mai menzionato. Era questo il senso ?

[Studente Anonimo]

Il senso è che lui vuole trovare un omomorfismo iniettivo $varphi :G \to S_n$, dove osserva che $G$ ha $n$ elementi mentre $S_n$ ha $n!$ elementi. Se trova tale omomorfismo ha finito, perché allora $G$ è isomorfo all'immagine di $varphi$, che quindi è un sottogruppo di $S_n$ isomorfo a $G$.