Equipotenza

[anto_zoolander]

Com'è possibile dimostrare che dato $X$ insieme e $AsubseteqX$ se esiste $f:X->A$ corrispondenza biunivoca e $X$ è finito allora $A=X$?

1. se $X$ è finito allora $A$ è finito.

poichè $X$ è finito si ha che esiste $g:X->NN$ iniettiva e considerando l'applicazione $f:A->X$ che associa $f(a)=a,foralla in A$ avremmo che chiaramente $f(a)=f(b) => a=b$ e quindi sarebbe iniettiva concludendo che $fcircg:A->X->NN$ sarebbe iniettiva poichè composizione di iniettive e quindi $A$ è finito

in particolare consideriamo che se $g:X-> I_n$ è una corrispondenza biunivoca allo stesso modo si creerebbe una funzione $A->I_n$ iniettiva e quindi $|A|leq|X|$

2. se $|X|=|A|$ e $exists g:X->NN$ iniettiva allora $A=X$

avete qualche idea da darmi in merito? c'entra qualche assioma?

[otta96]

La difficoltà della dimostrazione dipende se hai già dimostrato o no un fatto: siano $A$ e $B$ insiemi finiti della stessa cardinalità, allora $f:A->B$ è iniettive se e solo se è suriettiva.
Se lo sai già allora essendo $A\subX$ è definita l'immersione, che è iniettiva, ma dato che sono soddisfatte le ipotesi della proposizione di prima è anche suriettiva e quindi $A=X$.

[j18eos]

"anto_zoolander":...$ fcircg:A->X->NN $ sarebbe iniettiva poichè composizione di iniettive e quindi $ A $ è finito...

Falso, potrebbe essere \(\displaystyle A=\mathbb{N}_{\geq2}\)!

Per assurdo \(\displaystyle A\) sia infinito, per definizione esiste un sottoinsieme \(\displaystyle B\) di \(\displaystyle A\) non vuoto equipotente ad \(\displaystyle A\), ovvero esiste una funzione biettiva \(\displaystyle f:A\to B\).

Definita
\[
g:x\in X\to X\ni\begin{cases}
x\iff x\notin A\\
f(x)\iff x\in A
\end{cases},
\]
si dimostra facilmente che \(\displaystyle g\) è una funzione biettiva tra \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle B\cup(X\setminus A)\): assurdo!, quindi \(\displaystyle A\) è un insieme finito.

[otta96]

J18eos, ma tu stai usando la definizione di insieme Dedekind-infinito, non infinito.

[j18eos]

Di conseguenza il mio ragionamento non è ammissibile?

[otta96]

Allora, il ragionamento non l'ho controllato in dettaglio, ma supponendo che sia giusto quello che hai dimostrato è che la tesi vale per gli insiemi Dedekind-infiniti, a questo punto bisognerebbe dimostrare che un insieme Dedekind- finito è finito per completare la dimostrazione.

[anto_zoolander]

Colgo tutte e due le cose e le faccio mie grazie

@otta: non l’ho dimostrato, quindi lo dimostrerò (spero)