Equazioni diofantee secondo grado

[ludovico1987]

Buona sera a tutti,vi scrivo perchè ho problemi con equazioni diofanteee di secondo grado,di questa forma (x+x^2)=(y+y^2)/2+(y+1(y+1)^2)/2,volevo sapere se qualcuno di voi potesse rimandarmi a materiale che trattano questo tipo di equazioni cosi che io possa capire come fare per risolverle
Grazie a tutti

[Stickelberger]

Risolvere questo tipo di equazioni (in interi suppongo), non e' banale.
Ma in questo caso basta completare i quadrati. L'equazione
si trasforma in un'equazione facile da risolvere.

[ludovico1987]

grazie per la risposta

[ludovico1987]

volevo chiederti un altra cosa.Premetto che non so molto del completamento dei quadrati (ho letto qualcosa nella dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado)con quel metodo secondo te si possono risolvere anche queste due equazioni?
(x+x^2)=3(y+y^2)/2

(x+x^2)/2+(x+1+(x+1)^2)/2=(y+y^2)/2+(y+4+(y+4)^2)/2

[Stickelberger]

La terza equazione e’ simile alla prima. E' facile.
Basta completare quadrati. C’e’ solo un numero finito di soluzioni.

Invece la seconda e’ un po’ piu’ complicata. Se scrivi $u=2x+1$ e $v=2y+1$,
allora l’equazione diventa $3u^2 - 2v^2 = 1$. Ci sono infinite soluzioni.

Le soluzioni $u,v\in ZZ$ sono queste:
abbiamo che $u\sqrt{3}+v\sqrt{2}=\pm (\sqrt{2}+\sqrt{3})^m$ con $m$ dispari.
Per esempio, per $m=\pm 1$ abbiamo le soluzioni $u=v=\pm 1$.
Per $m=\pm 3$ abbiamo che $u=\pm 9$ e $v=\pm 11$ e cosi’ via $\ldots$

[ludovico1987]

Hai fatto più di quanto sperassi,mi interessavva solo sapere se il metodo poteva essere esteso.grazie infinite