Equazioni diofantee e fattorizzazione
In questi giorni mi sono messo a studiare alcuni argomenti utili a risolvere esercizi di tipo olimpionico, e in quanto autodidatta avrò necessità del vostro supporto per eventuali correzioni. Spero non me ne vorranno i moderatori se utilizzerò lo stesso topic per domandare delucidazioni intorno a svariati e differenti esercizi.
Inizio con questo primo:
Svolgimento: ho pensato di riscrivere l'enunciato come segue: [tex]$n^{2} +340=k^{2} \ \rightarrow \ n^{2} - k^{2}= -340 \ \rightarrow \ (n-k)(n+k)=-340$[/tex] e quindi di fattorizzare in vari modi il numero [tex]$-340$[/tex] per poi ottenere tutte le soluzioni possibili (per esempio scrivendolo come [tex]$-4 \cdot 85$[/tex] oppure come [tex]$-20 \cdot 17$[/tex] e quindi risolvere i corrispondenti sistemi [tex]$\begin{cases}n-k=-4 \\ n+k=85 \end{cases}$[/tex] ecc...) affinché l'uguaglianza risulti verificata. Il problema è che così operando ho il presentimento di non poter esaurire tutti i casi possibili, in quanto i fattori [tex]$n-k$[/tex] ed [tex]$n+k$[/tex] potrebbero essere ulteriormente fattorizzabili.
Cosa mi dite? Spero di non aver scritto boiate.
Inizio con questo primo:
Si dica per quali valori di [tex]$n$[/tex] il numero [tex]$n^{2} +340$[/tex] è un quadrato.
Svolgimento: ho pensato di riscrivere l'enunciato come segue: [tex]$n^{2} +340=k^{2} \ \rightarrow \ n^{2} - k^{2}= -340 \ \rightarrow \ (n-k)(n+k)=-340$[/tex] e quindi di fattorizzare in vari modi il numero [tex]$-340$[/tex] per poi ottenere tutte le soluzioni possibili (per esempio scrivendolo come [tex]$-4 \cdot 85$[/tex] oppure come [tex]$-20 \cdot 17$[/tex] e quindi risolvere i corrispondenti sistemi [tex]$\begin{cases}n-k=-4 \\ n+k=85 \end{cases}$[/tex] ecc...) affinché l'uguaglianza risulti verificata. Il problema è che così operando ho il presentimento di non poter esaurire tutti i casi possibili, in quanto i fattori [tex]$n-k$[/tex] ed [tex]$n+k$[/tex] potrebbero essere ulteriormente fattorizzabili.
Cosa mi dite? Spero di non aver scritto boiate.
Risposte
forse interpreto male il problema, ma perchè mettere $k^2$?
se questa è la definizione in $RR$ che ogni numero non negativo è un quadrato ($AAainRR,a>=0,EEbinRR|b^2=a$), allora penso che il problema da risolvere è $n^2 + 340 = k$.
forse è na "boiata" (cit.) quanto ho detto, ma io lo interpreterei così
se questa è la definizione in $RR$ che ogni numero non negativo è un quadrato ($AAainRR,a>=0,EEbinRR|b^2=a$), allora penso che il problema da risolvere è $n^2 + 340 = k$.
forse è na "boiata" (cit.) quanto ho detto, ma io lo interpreterei così
Io ho supposto che sia [tex]$n$[/tex] che [tex]$k$[/tex] debbano essere interi, e non tutti gli elementi [tex]$\in \; \mathbb{N}$[/tex] sono quadrati di altri elementi di [tex]$\mathbb{N}$[/tex] (per esempio non esiste in [tex]$\mathbb{N}$[/tex] un [tex]$b$[/tex] tale che [tex]$b^{2}=13$[/tex]).
ok, lasciamo stare.
e poi le equazioni diofantee stesse son definite tra gli interi...son messo bene. sorry
e poi le equazioni diofantee stesse son definite tra gli interi...son messo bene. sorry
Nessun problema!
Il metodo è sostanzialmente corretto, tuttavia la fattorizzazione che tu proponi di \(340\) è completamente arbitraria. Per fare una cosa giusta dovresti fattorizzare in irriducibili e quindi, usando il teorema di fattorizzazione essenzialmente unica, procedere esaminando i vari casi. So che sono un po' tanti, dato che \(340=2^2\cdot 5\cdot 17\), ma ora come ora non mi viene in mente un metodo più rapido (sempre che ci sia).
In realtà io avevo in mente proprio il procedimento che tu suggerisci. Quelli che ho postato volevano già essere alcuni dei possibili casi che discendono direttamente dalla fattorizzazione unica e che, probabilmente per imprecisione mia, paiono come arbitrari.
Grazie dell'attenzione Richard!
Grazie dell'attenzione Richard!
Figurati! Comunque prova a fare alcuni tentativi, vedrai che molti casi sono impossibili.
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