Equazioni congruenziali

[luca691]

Ciao,

so (teorema di Wilson) che, se $p$ è un primo, allora $p$ non divide $(p-1)!$. Mi interesserebbe sapere se si può dire qualcosa sulle equazioni congruenziali $(p^2-1)!\equiv x \mod p^2$ e $(p^2-1)!\equiv x \mod p$, o almeno che debba risultare $x \ne 0$. Potete aiutarmi?

Grazie

[dan952]

Mi pare banale... $p^2-1>p$ per ogni primo $p$ quindi?

[luca691]

Quindi $p^2-p>1$ è uno dei fattori di $(p^2-1)!$ e chiaramente è divisibile per $p$... Mi puoi dare un indizio anche per la divisibilità per $p^2$?

[luca691]

Effettivamente la questione che ho posto non ha molto senso... Per ogni intero $n>2$ vale $n^2-2n-1>0$, per cui $1

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[dan952]

Sì esatto la questione diventa più interessante se si vuole trovare il più piccolo $n$ tale che $p^n$ non divide $(p^2-1)!$ e risolvere $(p^2-1)! \equiv x \mod p^n$

[luca691]

Ci penserò. Intanto ti ringrazio per lo spunto.

Ciao

[luca691]

"dan95":Sì esatto la questione diventa più interessante se si vuole trovare il più piccolo $ n $ tale che $ p^n $ non divide $ (p^2-1)! $ e risolvere $ (p^2-1)! \equiv x \mod p^n $

Sarei interessato proprio alla questione che hai posto. Potresti dirmi di più al riguardo? Grazie

[Stickelberger]

Sia $m$ un numero naturale e sia $p$ un primo. Allora la valutazione $p$-adica
di $m!$ e' data da $\sum_{k\ge 1}[m/p^k]$. Qua $[\alpha]$ indica la parte intera di $\alpha\in RR$.

Si ha quindi che $n=p$ (nella notazione di @dan95).
Il calcolo di $x$ lascio a voi .