Equazione risolvente sistema
Ciao, amici!
sto cercando da tre giorni di trovare l'equazione risolvente, che contenga come coefficienti solo $K_1,K_2,K_3,K_w,S,\sigma$ o coefficienti numerici, di un sistema di equazioni, ma non riesco proprio a concludere nulla... Il sistema (dove e non è il numero di Nepero, ma una costante che, per chi fosse interessato al contesto chimico del problema, definisco nel P.S.) è:
$\{(S=a+b+c+d),(\sigma=3a+c+2d+e-x),(e=K_w/x),(K_1=c/b x),(K_2=d/c x),(K_3=a/d x):}$
Non riporto qui tutti i tentativi (penosi) che ho fatto (ieri notte fino alle 2 e mezzo) per non tediarvi, tra operazioni sulle righe di $((a,b,c,d,0,0,S),(3a,0,c,2d,K_w/x,-x,\sigma))$ e sostituzioni che, alla fine, mi riportano al punto di partenza... Mi è chiaro che $K_1K_2K_3=a/bx^3$, ma non sono stato in grado di utilizzarlo.
L'equazione risolvente, che dovrebbe essere di quinto grado, che riporta il libro è
$2x^5+(2K_1+\sigma)x^4+(2K_1K_2+\sigmaK_1-SK_1-K_w)x^3+(2K_1K_2K_3+\sigmaK_1K_2-SK_1K_2-K_wK_1)x^2+$ $+(\sigmaK_1K_2K_3-3SK_1K_2K_3-K_wK_1K_2)-K_wK_1K_2K_3=0$
ma, verificandola, mi pare che non sia proprio corretta... Mi sembra stana la terza coppia di parentesi ed ho provato ad usarla come coefficiente di una x, ma mi sembra sempre che, anche moltiplicando per questa x l'espressione inserita tra la terza coppia di parentesi, tutto il polinomio dell'equazione sia uguale a $((a+b+c+d)(d+x)x^4)/b$ e non a 0...
Qualcuno potrebbe essere così gentile da darmi un aiutino?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
P.S.: Per chi è interessato al contesto in cui si applica il sistema, si tratta di un sistema relativo al calcolo della concentrazione normalizzata $[H^+]=x$ dello ione $H^+$ in una soluzione dell'acido triprotico $H_3A$ contenente i vari sali $MH_2A,M_2HA$ e $M_3A$, ma posto qui perché l'ostacolo in cui mi inciampo mi sembra di ordine algebrico. Ho chiamato le varie concentrazioni normalizzate con una lettera per semplicità di calcolo: a è $[A^(3-)]$, b è $[H_3A]$ non dissociato, c è $[H_2A^(-)]$, d è $[HA^(2-)]$ ed e è $[OH^(-)]$; inoltre $K_1,K_2,K_3$ e $K_w$ sono rispettivamente le costanti di dissociazione dei successivi processi di deprotonazione e dell'acqua, S è la somma delle concentrazioni di tutte le specie con cui si inizializza la soluzione e infine $\sigma=\barc_(MH_2A)+2\barc_(M_2HA)+3\barc_(M_3A)$.
EDIT: editato grazie al suggerimento di j18eos. $+oo$ grazie, Armando!!!
sto cercando da tre giorni di trovare l'equazione risolvente, che contenga come coefficienti solo $K_1,K_2,K_3,K_w,S,\sigma$ o coefficienti numerici, di un sistema di equazioni, ma non riesco proprio a concludere nulla... Il sistema (dove e non è il numero di Nepero, ma una costante che, per chi fosse interessato al contesto chimico del problema, definisco nel P.S.) è:
$\{(S=a+b+c+d),(\sigma=3a+c+2d+e-x),(e=K_w/x),(K_1=c/b x),(K_2=d/c x),(K_3=a/d x):}$
Non riporto qui tutti i tentativi (penosi) che ho fatto (ieri notte fino alle 2 e mezzo) per non tediarvi, tra operazioni sulle righe di $((a,b,c,d,0,0,S),(3a,0,c,2d,K_w/x,-x,\sigma))$ e sostituzioni che, alla fine, mi riportano al punto di partenza... Mi è chiaro che $K_1K_2K_3=a/bx^3$, ma non sono stato in grado di utilizzarlo.
L'equazione risolvente, che dovrebbe essere di quinto grado, che riporta il libro è
$2x^5+(2K_1+\sigma)x^4+(2K_1K_2+\sigmaK_1-SK_1-K_w)x^3+(2K_1K_2K_3+\sigmaK_1K_2-SK_1K_2-K_wK_1)x^2+$ $+(\sigmaK_1K_2K_3-3SK_1K_2K_3-K_wK_1K_2)-K_wK_1K_2K_3=0$
ma, verificandola, mi pare che non sia proprio corretta... Mi sembra stana la terza coppia di parentesi ed ho provato ad usarla come coefficiente di una x, ma mi sembra sempre che, anche moltiplicando per questa x l'espressione inserita tra la terza coppia di parentesi, tutto il polinomio dell'equazione sia uguale a $((a+b+c+d)(d+x)x^4)/b$ e non a 0...
Qualcuno potrebbe essere così gentile da darmi un aiutino?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
P.S.: Per chi è interessato al contesto in cui si applica il sistema, si tratta di un sistema relativo al calcolo della concentrazione normalizzata $[H^+]=x$ dello ione $H^+$ in una soluzione dell'acido triprotico $H_3A$ contenente i vari sali $MH_2A,M_2HA$ e $M_3A$, ma posto qui perché l'ostacolo in cui mi inciampo mi sembra di ordine algebrico. Ho chiamato le varie concentrazioni normalizzate con una lettera per semplicità di calcolo: a è $[A^(3-)]$, b è $[H_3A]$ non dissociato, c è $[H_2A^(-)]$, d è $[HA^(2-)]$ ed e è $[OH^(-)]$; inoltre $K_1,K_2,K_3$ e $K_w$ sono rispettivamente le costanti di dissociazione dei successivi processi di deprotonazione e dell'acqua, S è la somma delle concentrazioni di tutte le specie con cui si inizializza la soluzione e infine $\sigma=\barc_(MH_2A)+2\barc_(M_2HA)+3\barc_(M_3A)$.
EDIT: editato grazie al suggerimento di j18eos. $+oo$ grazie, Armando!!!
Risposte
L'unico errore che noto è questo: [tex]$K_1K_2K_3=\frac{a}{b}x^3$[/tex]!
Grazie Armando!!!
Direi quindi che l'equazione risolvente sia
$x^5+(K_1+\sigma)x^4+(K_1K_2+\sigmaK_1-SK_1-K_w)x^3+(K_1K_2K_3+\sigmaK_1K_2-$2$SK_1K_2-K_wK_1)x^2+(\sigmaK_1K_2K_3-3SK_1K_2K_3-K_wK_1K_2)$x$-K_wK_1K_2K_3=0$
con le modifiche che ho messo in neretto e tolti invece tutti i coefficienti 2 della soluzione del libro, proprio perché mi pare che il polinomio dato come soluzione del libro (sempre dopo aver usato l'espressione tra parentesi senza coefficienti come coefficiente di x) sia, invece che uguale a 0, uguale a $((a+b+c+d)(d+x)x^4)/b=x^5+K_1x^4+K_1K_2x^3+K_1K_2K_3x^2+SK_1K_2x^2$.
Che cosa ne pensate?
Ho verificato diverse volte e mi pare che, così, i conti tornino...
Ciao e grazie di cuore a tutti di nuovo!
Direi quindi che l'equazione risolvente sia
$x^5+(K_1+\sigma)x^4+(K_1K_2+\sigmaK_1-SK_1-K_w)x^3+(K_1K_2K_3+\sigmaK_1K_2-$2$SK_1K_2-K_wK_1)x^2+(\sigmaK_1K_2K_3-3SK_1K_2K_3-K_wK_1K_2)$x$-K_wK_1K_2K_3=0$
con le modifiche che ho messo in neretto e tolti invece tutti i coefficienti 2 della soluzione del libro, proprio perché mi pare che il polinomio dato come soluzione del libro (sempre dopo aver usato l'espressione tra parentesi senza coefficienti come coefficiente di x) sia, invece che uguale a 0, uguale a $((a+b+c+d)(d+x)x^4)/b=x^5+K_1x^4+K_1K_2x^3+K_1K_2K_3x^2+SK_1K_2x^2$.
Che cosa ne pensate?
Ho verificato diverse volte e mi pare che, così, i conti tornino...
Ciao e grazie di cuore a tutti di nuovo!
Che quella fesseria ti ha rivoltato in positivo la tua esistenza metamatematica mi fa piacere, ma più di tanto non posso aiutarti!
Prego Davide, di nulla!
Prego Davide, di nulla!
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