Equazione ricorrente in $NN_0$
Risolvere mediante la $ccZ$ trasformata il seguente problema:
${(y_(n+2)+4y_(n+1)+3y_n=a_n),(y_0=1),(y_1=-1):}
essendo $(a_n)$ la successione periodica di periodo $3$ con $a_0=1,a_1=5,a_2=6$
${(y_(n+2)+4y_(n+1)+3y_n=a_n),(y_0=1),(y_1=-1):}
essendo $(a_n)$ la successione periodica di periodo $3$ con $a_0=1,a_1=5,a_2=6$
Risposte
Trasformando, si ottiene $(Y(x)-y_0-y_1 x)/x^2+4 (Y(x)-y_0)/x+3Y(x)=sum_n a_nx^n$.
Per calcolare la quantità sulla destra, sfruttiamo la proprietà delle radici terze dell'unità
di selezionare uno ogni tre termini di una serie nota, nel modo seguente:
$sum_n a_nx^n=1/3 sum_k 1/(1-omega_k x)+ 5/3 x sum_k 1/(1-omega_k x)+ 6/3 x^2 sum_k 1/(1-omega_k x)=(6x^2 + 5x + 1)/((1 - x)(x^2 + x + 1))$.
Risolvendo per $Y(x)$, si ottiene $Y(x)=(x^3 + x^2 + 1)/((x + 1) (1 - x) (x^2 + x + 1))$.
Perciò $y_n=ccZ^(-1)Y(1/x)=1/(3+3jsqrt3)[1+2(-1)^(1/3)+(-1)^(2/3)+(-1)^n+2(-1)^((4n)/3)+2(-1)^(1/3+n)+(-1)^(2/3+n)+4(-1)^((2(1+n))/3)-2(-1)^((1+2n)/3)-2(-1)^((2(1+2n))/3)]$.
Per calcolare la quantità sulla destra, sfruttiamo la proprietà delle radici terze dell'unità
di selezionare uno ogni tre termini di una serie nota, nel modo seguente:
$sum_n a_nx^n=1/3 sum_k 1/(1-omega_k x)+ 5/3 x sum_k 1/(1-omega_k x)+ 6/3 x^2 sum_k 1/(1-omega_k x)=(6x^2 + 5x + 1)/((1 - x)(x^2 + x + 1))$.
Risolvendo per $Y(x)$, si ottiene $Y(x)=(x^3 + x^2 + 1)/((x + 1) (1 - x) (x^2 + x + 1))$.
Perciò $y_n=ccZ^(-1)Y(1/x)=1/(3+3jsqrt3)[1+2(-1)^(1/3)+(-1)^(2/3)+(-1)^n+2(-1)^((4n)/3)+2(-1)^(1/3+n)+(-1)^(2/3+n)+4(-1)^((2(1+n))/3)-2(-1)^((1+2n)/3)-2(-1)^((2(1+2n))/3)]$.
Ci sono un po' di cose che non mi tornano...
A me viene così:
$z^2Y(z)-z^2+z+4zY(z)-4z+3Y(z)=A(z)$
$(z^2+4z+3)Y(z)-z^2-3z=A(z)$
$(z+3)(z+1)Y(z)-z(z+3)=A(z)$
$Y(z)=(A(z)+z(z+3))/((z+1)(z+3))=(A(z))/((z+1)(z+3))+z/(z+1)$
Secondo i miei conti risulta
$A(z)=(z^3+5z^2+6z)/(z^3-1)=(z(z+2)(z+3))/(z^3-1)$
per cui si ha
$Y(z)=(z(z+2))/((z+1)(z^3-1))+z/(z+1)$
A questo punto si tratta di antitrasformare...
A me viene così:
$z^2Y(z)-z^2+z+4zY(z)-4z+3Y(z)=A(z)$
$(z^2+4z+3)Y(z)-z^2-3z=A(z)$
$(z+3)(z+1)Y(z)-z(z+3)=A(z)$
$Y(z)=(A(z)+z(z+3))/((z+1)(z+3))=(A(z))/((z+1)(z+3))+z/(z+1)$
Secondo i miei conti risulta
$A(z)=(z^3+5z^2+6z)/(z^3-1)=(z(z+2)(z+3))/(z^3-1)$
per cui si ha
$Y(z)=(z(z+2))/((z+1)(z^3-1))+z/(z+1)$
A questo punto si tratta di antitrasformare...
Ciao Kroldar, forse non ti ritrovi perchè la mia $Y(z)$ è la funzione generatrice della sequenza,
ovvero la sua $ccZ$-trasformata in funzione di $1/z$, e non di $z$. Infatti il mio risultato e il tuo
sono gli stessi. Provare per credere.
ovvero la sua $ccZ$-trasformata in funzione di $1/z$, e non di $z$. Infatti il mio risultato e il tuo
sono gli stessi. Provare per credere.
Ah ecco, ora capisco!
Un'altra cosa: mi sembra che a te venga un risultato complesso... o no? Secondo me dovrebbe venire una successione reale.
Un'altra cosa: mi sembra che a te venga un risultato complesso... o no? Secondo me dovrebbe venire una successione reale.
Si, la successione è interamente a valori reali, anche se la forma esplicita di $y_n$ include numeri complessi.
D'altra parte, il teorema dei residui, necessario per antitrasformare, include un $2pij$.
D'altra parte, il teorema dei residui, necessario per antitrasformare, include un $2pij$.
"Kroldar":
Secondo i miei conti risulta
$A(z)=(z^3+5z^2+6z)/(z^3-1)=(z(z+2)(z+3))/(z^3-1)$
per cui si ha
$Y(z)=(z(z+2))/((z+1)(z^3-1))+z/(z+1)$
Come lo ottieni?
$A(z) = sum_(n=0)^(+oo) (a_n)/z^n = sum_(n=0)^(+oo) 1 + 5/z + 6/z^2 + 1/z^3 + 5/z^4 + 6/z^5 + 1/z^6 = sum_(n=0)^(+oo) (1/z^3)^n + 5/z sum_(n=0)^(+oo) (1/z^3)^n + 6/z^2 sum_(n=0)^(+oo) (1/z^3)^n$
A questo punto se ricordi la serie geometrica è fatta.
A questo punto se ricordi la serie geometrica è fatta.
"Kroldar":
$A(z) = sum_(n=0)^(+oo) (a_n)/z^n = sum_(n=0)^(+oo) 1 + 5/z + 6/z^2 + 1/z^3 + 5/z^4 + 6/z^5 + 1/z^6 = sum_(n=0)^(+oo) (1/z^3)^n + 5/z sum_(n=0)^(+oo) (1/z^3)^n + 6/z^2 sum_(n=0)^(+oo) (1/z^3)^n$
A questo punto se ricordi la serie geometrica è fatta.
grazie,molto chiaro
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