Equazione in campo con caratteristica 2
Ciao a tutti, non riesco ad andare avanti in questo problema:
Ho [tex]\mathbb{F}_q[/tex] un campo finito di caratteristica 2 (quindi q pari), e devo trovare quanti sono le coppie [tex](x,y) \in \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q[/tex] tali che risolvono l'equazione [tex]x^2 - xy + \varepsilon y^2 = 1[/tex], con $epsilon$ generatore del gruppo ciclico moltiplicativo del campo [tex]\mathbb{F}_q^* (\cdot)[/tex] e non ho idea di come fare visto che la formula per le equazioni di secondo grado non funziona in caratteristica 2...
Idee?
Grazie mille
Ho [tex]\mathbb{F}_q[/tex] un campo finito di caratteristica 2 (quindi q pari), e devo trovare quanti sono le coppie [tex](x,y) \in \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q[/tex] tali che risolvono l'equazione [tex]x^2 - xy + \varepsilon y^2 = 1[/tex], con $epsilon$ generatore del gruppo ciclico moltiplicativo del campo [tex]\mathbb{F}_q^* (\cdot)[/tex] e non ho idea di come fare visto che la formula per le equazioni di secondo grado non funziona in caratteristica 2...
Idee?
Grazie mille
Risposte
Se $F_q$ ha caratteristica 2, allora $q$ non solo e' pari, ma e' della forma $q=2^k$ per un certo $k$.
Il problema e' un po' strano, perche' la condizione su $\varepsilon$
non ha niente a che fare con il numero di coppie cercato.
Forse esiste un modo furbo diretto per contare le coppie, ma
la strada naturale sarebbe questa: considerare la curva
$x^2 - xy + \varepsilon y^2 = z^2$ nel piano proiettivo su $F_q$. Si tratta di una conica liscia.
Su un campo finito, tutte le coniche sono isomorfe alla retta proiettiva e quindi hanno tutte
esattamente $q+1$ punti con coordinate in $F_q$.
Il numero di copie cercato e' uguale al numero di punti sulla conica con coordinate in $F_q$, tranne i
punti all'infinito, vale a dire i punti $(x:y:z)$ con $z=0$. Ogni punto sulla conica all'infinito ha la
forma $(x:1:0)$ con $x^2-x=\varepsilon$.
La risposta dipende dal numero di soluzione della equazione $x^2-x=\varepsilon$.
La traccia di un elemento $a\in F_q$ e' data da
$Tr(a)=a+a^2 + a^4 +\ldots + a^{2^{k-1}}$.
La traccia di ogni $a\in F_q$ e' contenuta in $F_2$. Non e' difficile dimostrare che
$\a=b^2 - b$ per qualche $b\in F_q$ se e solo se $Tr(b)=0$.
Se $Tr(\varepsilon)=0$, ci sono quindi $q-1$ coppie $(x,y)$. Se $Tr(\varepsilon)=1$, ci sono $q+1$ coppie.
I due casi appaiano effettivamente. Per esempio, per $q=8$ ogni elemento non nullo di $F_8$
e' un generatore del gruppo moltiplicativo e la condizione (non rilevante) del problema e' soddisfatta.
Se prendo per $\varepsilon$ uno zero di $X^3+X+1$, allora ci sono $7$ coppie. Invece per $\varepsilon$
uno zero di $X^3+X^2+1$, ci sono $9$ coppie.
Il problema e' un po' strano, perche' la condizione su $\varepsilon$
non ha niente a che fare con il numero di coppie cercato.
Forse esiste un modo furbo diretto per contare le coppie, ma
la strada naturale sarebbe questa: considerare la curva
$x^2 - xy + \varepsilon y^2 = z^2$ nel piano proiettivo su $F_q$. Si tratta di una conica liscia.
Su un campo finito, tutte le coniche sono isomorfe alla retta proiettiva e quindi hanno tutte
esattamente $q+1$ punti con coordinate in $F_q$.
Il numero di copie cercato e' uguale al numero di punti sulla conica con coordinate in $F_q$, tranne i
punti all'infinito, vale a dire i punti $(x:y:z)$ con $z=0$. Ogni punto sulla conica all'infinito ha la
forma $(x:1:0)$ con $x^2-x=\varepsilon$.
La risposta dipende dal numero di soluzione della equazione $x^2-x=\varepsilon$.
La traccia di un elemento $a\in F_q$ e' data da
$Tr(a)=a+a^2 + a^4 +\ldots + a^{2^{k-1}}$.
La traccia di ogni $a\in F_q$ e' contenuta in $F_2$. Non e' difficile dimostrare che
$\a=b^2 - b$ per qualche $b\in F_q$ se e solo se $Tr(b)=0$.
Se $Tr(\varepsilon)=0$, ci sono quindi $q-1$ coppie $(x,y)$. Se $Tr(\varepsilon)=1$, ci sono $q+1$ coppie.
I due casi appaiano effettivamente. Per esempio, per $q=8$ ogni elemento non nullo di $F_8$
e' un generatore del gruppo moltiplicativo e la condizione (non rilevante) del problema e' soddisfatta.
Se prendo per $\varepsilon$ uno zero di $X^3+X+1$, allora ci sono $7$ coppie. Invece per $\varepsilon$
uno zero di $X^3+X^2+1$, ci sono $9$ coppie.
Grazie mille!! Ho capito perfettamente la questione ed ho risolto tutto (ho capito ora che il fatto che $epsilon$ fosse un generatore non è rilevante, ma quando ho scritto il problema mi era venuto con i conti da risolvere quell'equazione, e non avevo idea se fosse restrittivo o meno la presenza del generatore).
Grazie ancora
Grazie ancora
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