Equazione diofantea di secondo grado
Buona sera a tutti volevo sapere se questa equazione $ 16x-x^2=15y $ richiede qualche tipo di fattorizzazione e se si di quali elementi
Risposte
Edit: post sbagliato
grazie non so se ho capito bene quindi niente fattorizzazione,giusto?
Non vedo fattorizzazioni, e tu?
Comunque sii più chiaro, da dove l'hai preso questo esercizio? Hai studiato un metodo per risolvere questo tipo di diofantee? Se sì, quale?
Comunque sii più chiaro, da dove l'hai preso questo esercizio? Hai studiato un metodo per risolvere questo tipo di diofantee? Se sì, quale?
"dan95":dan95, questa uguaglianza è falsa.
$-64+16x-x^2=(8-x)^2$
Si si hai ragione
Manca un meno eh...allora non va il ragionamento che ne segue
Manca un meno eh...allora non va il ragionamento che ne segue
$x(16-x)=15y$ raccogliendo come suggerisce ludovico otteniamo già due soluzione $x=1$ o $x=15$ e $y=1$...forse qualcosina si può vedere sostituendo se infatti $x=15k$ con $k \in ZZ $ allora $y=k(16-15k)$, un'altra è data da $x=15k+16$ e $y=-k(15k+16)$, spero di aver contato bene...stavolta
ti ringrazio per la cortesia che hai mostrato,e la premura riprendendo più volte in mano l'esercizio.l'uguaglianza è corretta,voglio solo sapere se può essere risolta(ovvero trovare una formula per tutte le sue soluzioni) e se si se necessita di una fattorizzazione per la sua soluzione.grazie ancora e se non sono stato abbastanza chiaro dimmi quali sono i punti che ti sono oscuri
No, ha ragione Martino l'uguaglianza purtroppo per me è scorretta, comunque sì basta che fai qualche considerazione sulla fattorizzazione di 15 mi spiego meglio...
Prendiamo l'equazione $x(16-x)=15y$ a destra c'è 15 quindi un multiplo di 5 e 3 da qui deduciamo che anche a sinistra ci dovrà essere un multiplo di 5 e di 3 quindi abbiamo vari casi:
1) $x-= 0 \mod 15$ (già visto nel mio post precedente)
2) $x -= 1 \mod 15$ (visto)
3) $x -= 0 \mod 3$ e $x-= 1 \mod 5$
4) $x -= 2 \mod 3$ e $x-= 0 \mod 5$
La $x$ è soluzione dell'equazione se soddisfa uno dei 4 casi
Prendiamo l'equazione $x(16-x)=15y$ a destra c'è 15 quindi un multiplo di 5 e 3 da qui deduciamo che anche a sinistra ci dovrà essere un multiplo di 5 e di 3 quindi abbiamo vari casi:
1) $x-= 0 \mod 15$ (già visto nel mio post precedente)
2) $x -= 1 \mod 15$ (visto)
3) $x -= 0 \mod 3$ e $x-= 1 \mod 5$
4) $x -= 2 \mod 3$ e $x-= 0 \mod 5$
La $x$ è soluzione dell'equazione se soddisfa uno dei 4 casi
grazie è quello che volevo sapere
L'equazione $16-x^2 = 15y$ è equivalente a $15k +4 = (x-8)^2$ (dove $k:= -y+4$)
(infatti $15k+4 = (x-8)^2 <=> 15(-y+4) +4 = x^2-16x+64 <=> $
$<=> -15 y +60+4 = x^2-16x +64 <=> 16x-x^2 = 15y$)
Quindi risolvere l'equazione di partenza è equivalente a trovare tutti i $k in ZZ$ per cui $15k+4$ è un quadrato perfetto.
(infatti $15k+4 = (x-8)^2 <=> 15(-y+4) +4 = x^2-16x+64 <=> $
$<=> -15 y +60+4 = x^2-16x +64 <=> 16x-x^2 = 15y$)
Quindi risolvere l'equazione di partenza è equivalente a trovare tutti i $k in ZZ$ per cui $15k+4$ è un quadrato perfetto.
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