Equazione diofantea

[juvedelpiero]

Salve ragazzi sto trovando dei problemi nel risolvere questa equazione diofantea:
\(\displaystyle 33x-14y=21 \).
Ho calcolato il MCD(33,14) e risulta 1. Poi ho calcolato l'identità di Bézout che mi risulta essere \(\displaystyle 3(33)-7(14) \). Ho così la seguente equazione \(\displaystyle 3(33)-7(14)=1 \) e poiché l'equazione iniziale aveva termine noto uguale a 21 moltiplico tutto per 21 ottenendo così l'equazione \(\displaystyle 63(33)-147(14)=21 \). Ottengo così le soluzioni parziali dell'equazione che sono\(\displaystyle x=63 \) e\(\displaystyle y=-147 \). Il problema si presenta quando vado alla ricerca della soluzione generale; per trovarla pongo\(\displaystyle x=63+x' \)e \(\displaystyle y=-147+y' \)ma quando le vado a sostituire alle x e alle y originarie ottengo \(\displaystyle 33(63+x')+14(-147+y')=21 \)il che non è vero. Qualcuno può spiegarmi come mai ho questo problema di segni e dove sbaglio.
Grazie

[NoSignal]

è la prima volta che mi cimento in questi problemi, comunque credo ci sia un errore di fondo; poniamo $x'=3; y'=7; c=21$, hai $33x - 14y=33(cx')-14(cy')$ quindi con un po' di passaggi hai $33(x-cx')=14(y-cy')$;il primo membro di tale equazione è chiaramente divisibile per $14$ ma sapendo che $33$ e $14$ sono coprimi hai che $x-cx'$ è divisibile per $14$, e quindi $x-cx'=t14$ con $t$ intero, sostituisci tale relazione nella seconda equazione che ho scritto e hai $33(t14)=14(y-cy')$ e adesso puoi ricavarti la soluzione generale dividendo per $14$ e hai $y=cy'+33t$ ovvero $y=147+33t$ e se sostituisci tale relazione nella seconda equazione che ho scritto ottieni $x'=63+14t$;

Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione ... ea_lineare

Spero di essere stato d'aiuto!

[juvedelpiero]

Ciao noSignal non riesco a capire perché poni y'=7 e non uguale a -7 come viene dall'identità di bèzout

[Berationalgetreal]

Usiamo l'algoritmo di Euclide e cerchiamo la soluzione della seguente equazione diofantina:

\[ 33 x - 14y = 1 \]

\[ 33 = 14\cdot 2 + 5, \ 14 = 5\cdot 2+4, \ 5 = 4\cdot 1 + 1 \]

Quindi:

\[ 5 = 33 - 14\cdot 2, \ 4 = 14 - 5\cdot 2, \ 1 = 5 - 4\cdot 1 \]

\[ \implies 1 = 5 - 4\cdot 1 = 33 - 14\cdot 2 - (14 - (33 - 14\cdot 2) \cdot 2) = 33\cdot 3 - 14 \cdot 7 \]

Moltiplicando per $21$ da entrambe le parti:

\[ 33 \cdot 63 - 14 \cdot 147 = 21\]

La tua soluzione è dunque esatta. Adesso vediamo la soluzione generale:

\[ x = X + 63, \ y = Y + 147 \implies 33 \cdot(X+ 63) - 14 \cdot (Y + 147) = 21 \]

\[\implies 33X - 14 Y = 0 \implies X = 14k, \ k \in \mathbb{Z} \]

Quindi:

\[ x = 63+ 14k, \ y = 147 + 33k, \ \ k \in \mathbb{Z} \]

Ad esempio, per $k = -8765$:

\[ 33 \cdot (63 -14 \cdot 8765) - 14 \cdot (147 - 33\cdot 8765) = 21 \ \ \ OK \]

Avevi sbagliato un segno, controlla meglio.

[juvedelpiero]

Ok, grazie Berationalgetreal per la spiegazione dettagliata, ho capito dov'è che ho sbagliato.