Equazione di terzo grado

[rose13]

ciao a tutti mi sapreste dire che relazione c'è tra i coefficienti di un'equazione algebrica di terzo grado e le sue radici? grazie in anticipo

[mircoFN1]

$x^3+\frac{a_2}{a_3)x^2+\frac{a_1}{a_3)x+\frac{a_0}{a_3)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

[rose13]

non intendevo questo ma ad esempio se considero un'equazione di 2°
$x^2+ax+b=0$ e indico con $x_1, x_2$ le sue radici si potrebbe avere che
$x_1+x_2=a$ e $x_1x_2=b$

ora se ho un'equazione di 3°
$ax^3+bx^2+cx+d=0$ con $x_1, x_2, x_3$ le sue radici posso avere delle relazioni simili alle precedenti?
$x_1+x_2+x_3=?$
$ x_1x_2x_3=?$
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=?$

[gugo82]

Parti da un polinomio monico di terzo grado, ossia del tipo $x^3+ax^2+bx+c$, e supponi che tale polinomio abbia radici $x_1,x_2,x_3$; ora hai:

$x^3+ax^2+bx+c=(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)$

e se svolgi i prodotti al secondo membro ed applichi il principio di identità dei polinomi ("Due polinomi sono uguali se e solo se hanno i coefficienti ordinatamente uguali", valido in qualunque campo infinito) dovresti ottenere subito la risposta.

[rose13]

ok grazie mille

[mircoFN1]

"rose":ok grazie mille

scusa ma non è esattamente lo stesso di quello che avevo postato prima?

[franced]

Prova a guardare anche qui (il file sta nel mio sito personale)

http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _grado.pdf

[gugo82]

[mod="Gugo82"]Sposto in Algebra che mi pare più appropriato.[/mod]

Provo allora uno step per induzione; credo sia una supposizione corretta, ma non essendo esperto di polinomi lascio a voi dirimere la questione...

Sia $P=X^n+a_1X^(n-1)+\ldots +a_(n-1)X+a_n \in CC[X]$ un polinomio monico di grado $n$ sui complessi (si potrebbe mettere un qualunque campo algebricamente chiuso, I suppose); dette $x_1,\ldots ,x_n$ le radici di $P$, eventualmente ognuna ripetuta secondo la sua molteplicità, risulta:

$AA k \in \{0,\ldots ,n-1\}, a_k=-S_k(x_1,\ldots ,x_n)$

ove $S_k(x_1,\ldots ,x_n)$ è la funzione simmetrica elementare di ordine $k$ su $x_1,\ldots ,x_n$; ad esempio:

$S_0(x_1,\ldots ,x_n)=\sum_(i=1)^n x_i$ e $S_n(x_1,\ldots ,x_n)=\prod_(i=1)^n x_i$

mentre in generale:

$S_k(x_1,\ldots ,x_n)=\sum_(i_1

Cita

Segnala

[rose13]

l'unica cosa ke credo vada aggiustata è
$AAkin{0,...,n-1}$, $a_k=(-1)^(k+1)S_k(x_1,...,x_n)$

[gugo82]

In effetti sarebbe:

$AA k\in \{1,\ldots ,n\}, a_k=(-1)^k S_k(x_1,\ldots ,x_n)$

con $S_k(x_1,\ldots ,x_n)=\sum_(i_1<\ldots
Scusa rose, avevo scritto in fretta e male.