Equazione di secondo grado modulare

[fire7777777]

Ragazzi sto provando a fare un esercizio ma non mi escono le soluzioni, l'equazione sarebbe x*x-2*x +2 =0 in Z17

[j18eos]

Se le soluzioni non escono, può darsi che siano state recluse o qualcosa del genere.

Come hai cercato di farle evadere... ehm: uscire?

[fire7777777]

ma io in modo che mi hanno insegnato almeno ho capito di fare cosi è
fare la formula delle x quindi avrei( 2^(-1))*(2+(-4)^(1/2)) , ora siccome - 4 è negativo gli sommo il modulo , quindi verrebbe 13 ,ma comunque verrebbe avrei sotto radice qualcosa che non posso scomporre quindi non so dove finire @.@ , ne ho fatte un altra cosi e mi è uscita perchè sotto radice cera un 25, 16 ecc ma questa cosi no , noon so come devo fare

[j18eos]

Veramente: \(\displaystyle\sqrt{-4}=2\sqrt{-1}\) e notando che \(\displaystyle17\equiv1(\mathrm{mod}\,4)\) sai che \(\displaystyle-1\) ha una radice quadrata in \(\displaystyle\mathbb{Z}_{17}\).

[fire7777777]

Non mi è molto chiaro perché tu hai scritto modulo 4? Non sarebbe modulo 17? quindi il mio errore è che non cercavo di semplificare

[fire7777777]

E come faccio a sapere quale sia la radice? Come seguo i calcoli?

[j18eos]

Ho solo citato il seguente (e famoso) teorema:

Sia \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\) il campo con \(\displaystyle p\) elementi; la radice quadrata di \(\displaystyle-1\) esiste in \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\) se e solo se \(\displaystyle p\equiv1\,(\mathrm{mod}\,4)\).

Poi, la radice si può ricavare ragionando sul fatto che cerchi:
\[
x,k\in\mathbb{Z}\mid x^2+1=k17.
\]