Equazione delle Classi
Salve a tutti sono alle prese con questo esercizio.
Siano $G$ di ordine $64$ e $Z(G)$ di ordine $2$.
Utilizzando l'equzione delle classi provare che esiste un elemento $x in G$ il cui centralizzante $C(x)$ ha ordine $32$.
Di questa equazione non ho proprio idea, ho cercato sul web ma ho trovato pochi riscontri, tra l'altro poco chiari.
Avete qualche idea?
Grazie
Siano $G$ di ordine $64$ e $Z(G)$ di ordine $2$.
Utilizzando l'equzione delle classi provare che esiste un elemento $x in G$ il cui centralizzante $C(x)$ ha ordine $32$.
Di questa equazione non ho proprio idea, ho cercato sul web ma ho trovato pochi riscontri, tra l'altro poco chiari.
Avete qualche idea?
Grazie
Risposte
Cos'è il centralizzante di un elemento? E qual è l'equazione delle classi?
Io guarderei pure al teorema orbita-stabilizzatore e alle azioni di gruppi.
Io guarderei pure al teorema orbita-stabilizzatore e alle azioni di gruppi.
"mistake89":
Cos'è il centralizzante di un elemento? E qual è l'equazione delle classi?
Io guarderei pure al teorema orbita-stabilizzatore e alle azioni di gruppi.
Premessa il centralizzante di un gruppo $G$ è $C(N)$ $=$ ${x in G | xn = nx AA n in N}$
Ho trovato quanto segue:
Nel caso di azione di un gruppo su se stesso lo stabilizzatore coincide con il centralizzante.
Mentre il nucleo dell'azione di $x$ su $G$ coincide con il centro del gruppo.
Ora l'ordine del nucleo di una azione (secondo l'equazione delle classi che ho trovato) è dato da
$|[x]|$ $=$ $|G| : |C_x(N)| $
Quindi nel caso posso affermare che $|G|$ $=$ $|[x]|$$|C_x(N)|$
e quindi se $|G|$ $=$ $64$ e $Z(G)$ $=$ $2$ deve necessariamente essere che esiste un elemento $x$ il cui centralizzante ha ordine $32$
(Credo)
Mi dici che equazioni delle classi hai trovato?
Ritornando all'esercizio ho trovato da un corollario che l'ordine delle orbite di un dato elemento x è:
$|O(x)|$ $=$ $|G|$ $:$ $|St(x)|$
inoltre in caso di azione di un gruppo in se stesso data dal coniugio le orbite coincidono con le classi di coniugio il cui insieme quoziente dovrebbe essere il centro
$Z(G)$ = ${g in G | [g]={g}}$
Mentre lo stabilizzatore dell'elemento $x$ è il suo centralizzante $C(x)$ $=$ ${g in G | gx = xg}$
L'equazione delle classi è:
$|G|$ $=$ $|G:C(x_1)|$$......$$|G:C(x_r)|$
dove $x_1|$, $x_r$ sono i rappresentanti delle classi di equivalenza di coniugio.
Il mio problema è che non riesco a legare l'equazione delle classi a quanto sopra trovato
Come mai mi ritrovo $|G|$ in ambo i lati dell'equazione?
Grazie
$|O(x)|$ $=$ $|G|$ $:$ $|St(x)|$
inoltre in caso di azione di un gruppo in se stesso data dal coniugio le orbite coincidono con le classi di coniugio il cui insieme quoziente dovrebbe essere il centro
$Z(G)$ = ${g in G | [g]={g}}$
Mentre lo stabilizzatore dell'elemento $x$ è il suo centralizzante $C(x)$ $=$ ${g in G | gx = xg}$
L'equazione delle classi è:
$|G|$ $=$ $|G:C(x_1)|$$......$$|G:C(x_r)|$
dove $x_1|$, $x_r$ sono i rappresentanti delle classi di equivalenza di coniugio.
Il mio problema è che non riesco a legare l'equazione delle classi a quanto sopra trovato
Come mai mi ritrovo $|G|$ in ambo i lati dell'equazione?
Grazie
"emanuele78":
Ritornando all'esercizio ho trovato da un corollario che l'ordine delle orbite di un dato elemento x è:
$|O(x)|$ $=$ $|G|$ $:$ $|St(x)|$
Bene questo è vero e per la risoluzione può tornare utile.
inoltre in caso di azione di un gruppo in se stesso data dal coniugio le orbite coincidono con le classi di coniugio il cui insieme quoziente dovrebbe essere il centro
Questa invece non l'ho capita. E' giusto ciò che dici nella prima parte, mentre non capisco cosa significa che l'insieme quoziente (immagino rispetto alla coniugio) è il centro. Il centro è semplicemente l'insieme degli elementi coniugati solo con se stessi.
Infatti la definizione che ne dai è giusta:
$Z(G)$ = ${g in G | [g]={g}}$
Provo a darti un suggerimento su come l'ho risolto io (sperando che sia corretto!).
Partiamo dall'equazione delle classi essa è $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)|$ con $x_i in G$ e $Cl(x_i)$ è la classe di coniugio di $x_i$.
Raffinando quest'equazione possiamo scrivere $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)| + |Z(G)|$ con $x_i in G$ tale che $x_i$ non appartiene al centro di $G$.
Ora ricordiamo che l'ordine delle classi di coniugazione (cioè le orbite per la coniugio) divide l'ordine del gruppo, cioè $64=2^6$.
Prova a mettere insieme questi dati che ti ho fornito e vedi se giungi ad una conclusione
"mistake89":
[quote="emanuele78"]Ritornando all'esercizio ho trovato da un corollario che l'ordine delle orbite di un dato elemento x è:
$|O(x)|$ $=$ $|G|$ $:$ $|St(x)|$
Bene questo è vero e per la risoluzione può tornare utile.
inoltre in caso di azione di un gruppo in se stesso data dal coniugio le orbite coincidono con le classi di coniugio il cui insieme quoziente dovrebbe essere il centro
Questa invece non l'ho capita. E' giusto ciò che dici nella prima parte, mentre non capisco cosa significa che l'insieme quoziente (immagino rispetto alla coniugio) è il centro. Il centro è semplicemente l'insieme degli elementi coniugati solo con se stessi.
Infatti la definizione che ne dai è giusta:
$Z(G)$ = ${g in G | [g]={g}}$
Provo a darti un suggerimento su come l'ho risolto io (sperando che sia corretto!).
Partiamo dall'equazione delle classi essa è $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)|$ con $x_i in G$ e $Cl(x_i)$ è la classe di coniugio di $x_i$.
Raffinando quest'equazione possiamo scrivere $|G|=sum_{i} | Cl(x_i)| + |Z(G)|$ con $x_i in G$ tale che $x_i$ non appartiene al centro di $G$.
Ora ricordiamo che l'ordine delle classi di coniugazione (cioè le orbite per la coniugio) divide l'ordine del gruppo, cioè $64=2^6$.
Prova a mettere insieme questi dati che ti ho fornito e vedi se giungi ad una conclusione
[/quote]Grazie Mistake per l'aiuto.
Penso di aver risolto nel seguente modo.
$Z(G)$ è una particolare classe di coniugio, pertanto ad essa è associata un elemento $x$ il cui centralizzante ha odine che divide $|G|$. Fissato quindi l'ordine di $Z(G)$ e di $G$ allora necessariamete deve esistere un elemento $x$ il cui centralizzante ha ordine $|G|$$:$$Z(G)$, nel caso il cetralizzante di $x$ ha ordine $32$.
Mmm francamente la tua soluzione non mi convince.
Innanzi tutto $Z(G)$ non è una classe di coniugio (come potrebbe esserlo? Il centro è l'insieme degli elementi autoconiugati, cioè delle classe ridotte al solo elemento!). E non capisco cosa voglia significare che $Z(G)$ è associato un elemento $x$. Chi sarebbe questo elemento?
Se pensi che questo $x$ sia l'elemento non identico che sta nel centro, ciò che dici non è vero, perchè esso è centralizzato (ovviamente) da tutto il gruppo $G$.
Innanzi tutto $Z(G)$ non è una classe di coniugio (come potrebbe esserlo? Il centro è l'insieme degli elementi autoconiugati, cioè delle classe ridotte al solo elemento!). E non capisco cosa voglia significare che $Z(G)$ è associato un elemento $x$. Chi sarebbe questo elemento?
Se pensi che questo $x$ sia l'elemento non identico che sta nel centro, ciò che dici non è vero, perchè esso è centralizzato (ovviamente) da tutto il gruppo $G$.
"mistake89":
Mmm francamente la tua soluzione non mi convince.
Innanzi tutto $Z(G)$ non è una classe di coniugio (come potrebbe esserlo? Il centro è l'insieme degli elementi autoconiugati, cioè delle classe ridotte al solo elemento!). E non capisco cosa voglia significare che $Z(G)$ è associato un elemento $x$. Chi sarebbe questo elemento?
Se pensi che questo $x$ sia l'elemento non identico che sta nel centro, ciò che dici non è vero, perchè esso è centralizzato (ovviamente) da tutto il gruppo $G$.
Ok.
Deduco dalla equazione delle classi che $Z(G)$ $=$ $|G| - \sum_{i=1}^r |Cx_i|$, per cui la sommatoria di tutti gli ordini delle classi di
coniugio è $62$, ed essendo tali ordini anche divisori di $|G|$, essi assumono i seguenti valori $2,4,8,16,32$, quindi esiste un $x$ il cui centralizzante ha ordine $32$.
Grazie
PS
Volevo farti un'altra domanda, il centro di un gruppo, deve contenere tutti i sottogruppi normali di un gruppo?
Secondo me si vista la definizione di centro si. Ma non ho trovato riscontri teorici.
Perfetto, i divisori sono quelli e la loro somma deve essere pari a $62$, ma non abbiamo ancora dimostrato l'esistenza.
Devi fare un'altra piccola osservazione per poter concludere.
Per il PS. Mmm perchè dovrebbe contenere tutti i sottogruppi normali? Non è affatto vero. Anche perchè il centro è un sottogruppo e contiene pertanto "elementi" di $G$. Come potrebbe contenere sottogruppi? Non capisco che vuoi dire.
Devi fare un'altra piccola osservazione per poter concludere.
Per il PS. Mmm perchè dovrebbe contenere tutti i sottogruppi normali? Non è affatto vero. Anche perchè il centro è un sottogruppo e contiene pertanto "elementi" di $G$. Come potrebbe contenere sottogruppi? Non capisco che vuoi dire.
"mistake89":
Perfetto, i divisori sono quelli e la loro somma deve essere pari a $62$, ma non abbiamo ancora dimostrato l'esistenza.
Devi fare un'altra piccola osservazione per poter concludere.
Per il PS. Mmm perchè dovrebbe contenere tutti i sottogruppi normali? Non è affatto vero. Anche perchè il centro è un sottogruppo e contiene pertanto "elementi" di $G$. Come potrebbe contenere sottogruppi? Non capisco che vuoi dire.
Mi spiego meglio attraverso un esercizio.
Sia $G$ un gruppo di ordine $pqr$, con $p
Dimostrare che il centro di $G$ non può essere di ordine $pq$.
Innanzi tutto si mostra subito che in $G$ esiste un sottogruppo di ordine $r$ che è normale.
Ora poichè il centro di un gruppo è formato da tutti gli elementi che commutano con ogni elemento di $G$ deve essere, secondo il mio ragionamento, che il centro di $G$ deve contenere pure gli elementi del sottogruppo di ordine $r$, normale, e quindi non può essere di ordine $pq$.
Questo esercizio magari lo discutiamo dopo. Perchè non finiamo quello di prima? Eravamo vicini
"mistake89":
Questo esercizio magari lo discutiamo dopo. Perchè non finiamo quello di prima? Eravamo vicini
Ho dimenticato, beh direi che l'esistenza è dimostrata da Sylow, infatti il sottogruppo di ordine $32$ è il $2$-Sylow di ordine $2^5$. Sappiamo infatti da Sylow che per ogni primo $p$ ed intero $r$ tale che $p^r$ divide $|G|$ allora esiste un sottogruppo in $G$ di ordine $p^r$. Nel caso appunto $2^5$
Secondo me non lo puoi dedurre così facilmente, non sai affatto che quel sottogruppo di ordine 32 è proprio il centralizzante di qualche $x in G$.
La via più giusta, secondo me, è osservare che $62$ può essere scritto come somma di quei numeri (2,4,8,16,32), in vari modi ovviamente, ma in ognuno comparare almeno un $2$.
Ciò esisterà una classe di coniugio con due elementi. Detto $x$ tale rappresentante,dal teorema orbita-stabilizzatore si ha che $|C(x)|=(|G|)/(|Cl(x)|)=32$
La via più giusta, secondo me, è osservare che $62$ può essere scritto come somma di quei numeri (2,4,8,16,32), in vari modi ovviamente, ma in ognuno comparare almeno un $2$.
Ciò esisterà una classe di coniugio con due elementi. Detto $x$ tale rappresentante,dal teorema orbita-stabilizzatore si ha che $|C(x)|=(|G|)/(|Cl(x)|)=32$
Quanto all'altro tuo problema esso è di natura più generale. Infatti se un sottogruppo ha indice primo allora e' massimale.
Quindi se per assurdo $Z$ avesse ordine $pq$ il suo indice sarebbe $r$, che è primo.
$Z$ allora è massimale e preso $g in G -Z$ si avrebbe che $C(g)$ contiene $Z$ e $g$. Quindi per non contraddire la massimalità di $Z$, $C(g)=G$. Cioè $g in Z$. Il che è assurdo.
EDIT: Corretto errore!
Quindi se per assurdo $Z$ avesse ordine $pq$ il suo indice sarebbe $r$, che è primo.
$Z$ allora è massimale e preso $g in G -Z$ si avrebbe che $C(g)$ contiene $Z$ e $g$. Quindi per non contraddire la massimalità di $Z$, $C(g)=G$. Cioè $g in Z$. Il che è assurdo.
EDIT: Corretto errore!
"mistake89":Beh no: un sottogruppo massimale puo' avere indice non primo (esempio: lo stabilizzatore di un punto in [tex]S_6[/tex] e' massimale di indice 6 - un esempio piu' eclatante e' dato da [tex]S \times S[/tex], dove S e' un gruppo semplice non abeliano: la diagonale [tex]\{(s,s)\ |\ s \in S\}[/tex] e' un sottogruppo massimale di [tex]S \times S[/tex] di indice [tex]|S|[/tex]). Certamente se un sottogruppo ha indice primo allora e' massimale, ma non vale il viceversa in generale. Il viceversa vale per esempio per i gruppi nilpotenti finiti, dato che i loro sottogruppi massimali sono tutti normali.
Cioè il centro non può avere indice primo, il che equivale a richiedere che il centro non sia un sottogruppo massimale.
Ti ringrazio per la puntualizzazione, non ne ero a conoscenza ovviamente! 
Correggo il post.
Correggo il post.
"mistake89":
Secondo me non lo puoi dedurre così facilmente, non sai affatto che quel sottogruppo di ordine 32 è proprio il centralizzante di qualche $x in G$.
La via più giusta, secondo me, è osservare che $62$ può essere scritto come somma di quei numeri (2,4,8,16,32), in vari modi ovviamente, ma in ognuno comparare almeno un $2$.
Ciò esisterà una classe di coniugio con due elementi. Detto $x$ tale rappresentante,dal teorema orbita-stabilizzatore si ha che $|C(x)|=(|G|)/(|Cl(x)|)=32$
Ti ringrazio dell'aiuto. Tuttavia mi sembra intuitivo pensare che l'esistenza dell'elemento $x$ il cui centralizzante è di ordine $32$ possa essere dimostrata dall'equazione delle classi. Voglio dire, dal teorema delle orbite sappiamo che le classi di coniugio, sono divisori dell'ordine del gruppo. Mentre dall'equazione delle classi fissato l'ordine del centro e del gruppo, deve necessariamente esserci l'elemento $x$ il cui centralizzante è $32$.
Forse è la stessa cosa, ciò che stiamo dicendo
Vediamo se qualche altro vuol dire qualcosa a proposito, perchè io sinceramente non ti so rispondere con precisione.
Il fatto che l'ordine delle orbite divida l'ordine del gruppo ti dà i possibili ordini delle classi di coniugio, ma non ti assicura affatto che esistano per ogni divisore.
Il fatto che l'ordine delle orbite divida l'ordine del gruppo ti dà i possibili ordini delle classi di coniugio, ma non ti assicura affatto che esistano per ogni divisore.
emanuele78, io ti farei le stesse identiche obiezioni di mistake89. Questo:
Tu invece come deduci dall'equazione delle classi l'esistenza di un centralizzante di ordine 32?
"mistake89":mi sembra l'unico argomento ragionevole che utilizza l'equazione delle classi.
$62$ può essere scritto come somma di quei numeri (2,4,8,16,32), in vari modi ovviamente, ma in ognuno comparare almeno un $2$.
Tu invece come deduci dall'equazione delle classi l'esistenza di un centralizzante di ordine 32?
"Martino":mi sembra l'unico argomento ragionevole che utilizza l'equazione delle classi.
emanuele78, io ti farei le stesse identiche obiezioni di mistake89. Questo:[quote="mistake89"]$62$ può essere scritto come somma di quei numeri (2,4,8,16,32), in vari modi ovviamente, ma in ognuno comparare almeno un $2$.
Tu invece come deduci dall'equazione delle classi l'esistenza di un centralizzante di ordine 32?[/quote]
Martino, Mistake avete ragione e penso di aver capito.
Posto il ragionamento. Dall'equazione delle classi deduco che esiste una classe di coniugio di ordine $2$, pertanto dal teorema orbita-stabilizzatori risulta esserci un elemento $x$ il cui centralizzante ha ordine $32$.
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