Equazione delle Classi

[Amartya]

Salve a tutti sono alle prese con questo esercizio.

Siano $G$ di ordine $64$ e $Z(G)$ di ordine $2$.
Utilizzando l'equzione delle classi provare che esiste un elemento $x in G$ il cui centralizzante $C(x)$ ha ordine $32$.

Di questa equazione non ho proprio idea, ho cercato sul web ma ho trovato pochi riscontri, tra l'altro poco chiari.

Avete qualche idea?

Grazie

[Amartya]

"mistake89":Quanto all'altro tuo problema esso è di natura più generale. Infatti se un sottogruppo ha indice primo allora e' massimale.

Quindi se per assurdo $Z$ avesse ordine $pq$ il suo indice sarebbe $r$, che è primo.
$Z$ allora è massimale e preso $g in G -Z$ si avrebbe che $C(g)$ contiene $Z$ e $g$. Quindi per non contraddire la massimalità di $Z$, $C(g)=G$. Cioè $g in Z$. Il che è assurdo.

EDIT: Corretto errore!

Più problematica mi risulta essere la comprensione della soluzione di questo problema.

Mi riferisco in particolare al fatto che se $Z$ è massimale e preso $g in G -Z$ si avrebbe che $C(g)$ contiene $Z$ e $g$.

Innanzitutto non mi è chiaro perchè il centralizzante di un elemento $C(g)$ dovrebbe contenere pure il centro $Z$, nel caso il centro sia massimale.

Ci sto ragionando ma non riesco a chiarirmi le idee.

Grazie

Emanuele

[Amartya]

Ho riflettuto a lungo sulla soluzione postata da Mistake, sopratutto su alcuni collegamenti che non mi erano chiari, come sopra da me riportato, e sono arrivato alla seguente considerazione. Che è più che altro una rivisitazione della soluzione di Mistake, con in più i passaggi(spero corretti) che mi mancavano per una piena comprensione.

Sia per assurdo $Z$ di ordine $pq$, poichè tale sottogruppo divide $G$ di ordine $pqr$ con $p,q,r$ primi, segue che $Z$ ha indice primo $r$ e che pertanto è massimale. E questo è ok. Ora se è massimale, significa che $Z$ non è contenuto in altri sottogruppi propri del grupp $G$. Quindi sia $g in G-Z$ un elemento il cui centralizzante è $C(g)$ ora il centralizzante di $g$ ha ordine maggiore di $g$ ed essendo $Z$ massimale(cioè non è contenuto in un altro sottogruppo) deve essere che $C(g)$ contiene $Z$ e chiaramente $g$. Quindi $C(g)$ $=$ $G$, cioè $g$ commuta con ogni altro elemento di $G$, e quindi $g in Z$. D'altra parte l'ultima equivalenza implica che se $C(g)$ $=$ $G$ allora $G$ è abeliano e quindi $Z$ $=$ $G$, e quindi, ancora $g in Z$ che è assurdo. $Z$ non può avere ordine $pq$


Grazie

[Studente Anonimo]

"emanuele78":essendo $Z$ massimale(cioè non è contenuto in un altro sottogruppo) deve essere che $C(g)$ contiene $Z$

Dici che Z non è contenuto in nessun altro sottogruppo e da questo deduci che è contenuto in C(g). C'è qualcosa che non va, non credi?

Il motivo per cui Z è contenuto in C(g) è il seguente:

ogni elemento di Z essendo nel centro commuta (in particolare) con g e quindi appartiene a C(g).

[Amartya]

"Martino":[quote="emanuele78"]essendo $Z$ massimale(cioè non è contenuto in un altro sottogruppo) deve essere che $C(g)$ contiene $Z$

Dici che Z non è contenuto in nessun altro sottogruppo e da questo deduci che è contenuto in C(g). C'è qualcosa che non va, non credi?

Il motivo per cui Z è contenuto in C(g) è il seguente:

ogni elemento di Z essendo nel centro commuta (in particolare) con g e quindi appartiene a C(g).[/quote]


Ok capito.

Grazie.