Equazione congruenziale

[FELPONE]

Salve ho svolto questa equazione congruenziale ma non mi sembra essere corretto il risultato.


$ 12x-= 21mod81 $

Il M.C.D tra 12 e 81 è 3 quindi divide 21 e sappiamo che abbiamo una soluzione.
Il mio M.C.D è $3=12x + 81y$ e quindi 21 sarà multiplo di esso quindi $21=12*7x + 81*7y$

Quindi sappiamo che $12(7x)-= 21mod81$ e ora trovo la x con l'algoritmo di euclide.

$ 81=12*6 +9 ;
12=9*1 + 3 $

da qui ricavo $3=12+9(-1)$ quindi il mio x sarà 1.

é giusto?

[vict85]

Come si vede sostituendo 1 alla x il risultato è sbagliato.

Ovviamente, siccome tutti gli elementi sono divisibili per 3, puoi lavorare con \(\displaystyle 4x\equiv 7 \pmod{27} \). Siccome \(\displaystyle 4\) e \(27 \) sono coprimi, allora \(\displaystyle x<27 \) (\(\displaystyle 4 \) ha ordine \(\displaystyle 27 \) nel gruppo additivo). Inoltre vi è un solo \(\displaystyle 1
Usando metodi non proprio standard direi che siccome \(\displaystyle 4\times 7 = 28 = 1 + 27 \) allora \(\displaystyle 4\times (3\times 7) \equiv 3\pmod{27}\). Perciò \(\displaystyle x = 7\times 3 + 1 = 22 \).

Infatti \(\displaystyle 4\times 22 = 88 = 7 + 81 = 7 + 3\times 27 \).

[spode]

A me risulta che la soluzione è x = 49 + 81*k con k intero.
Ho risolto considerando il tutto come equazione diofantea, partendo da MCD(12,81)=3.

[vict85]

"spode":A me risulta che la soluzione è x = 49 + 81*k con k intero.
Ho risolto considerando il tutto come equazione diofantea, partendo da MCD(12,81)=3.

Quello che dico io è che le soluzioni sono \(\displaystyle x = 22 + 27k \) che ovviamente comprendono le tue.

Infatti \(\displaystyle (12\times 22)-(81\times 3) = 264 - 243 = 21 \). La tua dimostrazione ha quindi saltato alcune soluzioni.