Equazione alle differenze

[Sk_Anonymous]

Risolvere la seguente equazione alle differenze:
$y_(n+2)*y_n^4=y_(n+1)^5$
con le condizioni $y_1=1,y_2=2$
karl

[elgiovo]

Conviene considerare la serie ${x_n}_(n in NN_0)$ tale che $y_n=x_1x_2ldotsx_n=prod_(k=1)^n x_k$ (1).
L'equazione diventa $x_1x_2ldotsx_nx_(n+1)x_(n+2)(x_1x_2ldotsx_n)^4=(x_1x_2ldotsx_nx_(n+1))^5$.
Raggruppando diversamente i fattori, si ha $(x_1x_2ldotsx_n)^5 x_(n+1)x_(n+2)=(x_1x_2ldotsx_n)^5x_(n+1)^5$.
Semplificando, $x_(n+2)=x_(n+1)^4$ o, più semplicemente, $x_(n+1)=x_n^4$.
Poichè $x_1=y_1=1$ e $x_2=y_2/x_1=2$, si ottiene che $x_n=2^(4^(n-2))$.
Per trovare $y_n$, leggiamo semplicemente la (1), da cui $y_n=prod_(k=2)^n2^(4^(k-2))=(2^(4^n/12+2/3))/2$.

[Sk_Anonymous]

Bella soluzione ,davvero.Una sola osservazione :forse quel 2/3 che compare
nella soluzione finale sta ad esponente.In tal caso la soluzione si puo' semplificare.
Vorrei ,comunque, proporre una soluzione piu' standard.
Passando ai logaritmi (supposto che sia sempre $y_n>0$) e ponendo $lny_n=u_n$,l'equazione
diventa:
$u_(n+2)-5u_(n+1)+4u_n=0$ con le condizioni $u_1=lny_1=ln1=0,u_2=lny_2=ln2 $
Ora tale equazione e' lineare e si risolve (grosso modo) come in analisi.
L'equazione caratteristica e':
$lambda^(n+2)-5lambda^(n+1)+4lambda^n=0$ ed escludendo la soluzione $lambda=0$
si ottengono le soluzioni $lambda_1=1,lambda_2=4$ a cui corrisponde la soluzione
generale :
$u_n=C_1*1^n+C_2*4^n$ ed imponendo le condizioni date risulta:
$u_n=(4^(n-1)-1)/3ln2=ln2^((4^(n-1)-1)/3) $
Tornando alla y ,si ha infine $y_n=2^((4^(n-1)-1)/3) $
karl

[elgiovo]

Si, effettivamente il $2/3$ è ad esponente, ho corretto. Il risultato è infatti $y_n=(2^(4^n/12+2/3))/2=2^((4^(n-1)-1)/3)$.