Equazione alle congruenze

[Claudio1994]

Salve, stavo studiando delle dispense online quando mi sono imbattuto in questa congruenza,
\[x^{2}\equiv 5 (mod 6)\]
Sicuramente è una banalità, però non riesco a vederne la soluzione

[Kashaman]

ciao, da regolamento, dovresti postare almeno un tentativo di risoluzione. Ti posto la mia risoluzione in spoiler, guardala solo se sei totalmente bloccato e non hai idee.

Considera questa cosa.
$6=3*2$ , da cui $ZZ_6 ~= ZZ_2 x ZZ_3$ , per la seconda formulazione del teorema cinese dei resti.
dunque la congruenza $x^2-=5(mod6)$ è equivalente a trovare $x in ZZ$ risolventi il sistema
$x^2-=2(mod3)$
$x^2-=1(mod2)$
considera la congruenza $x^2-=2(mod3)$ , in $ZZ_3$ $1^2=1 , 2^2=4 , 3^2=9=0 $ . Dunque non ha soluzione. di conseguenza, il sistema è incompatibile. Pertanto anche $x^2-=5(mod6) $ non ha soluzione.

[Claudio1994]

"Kashaman":ciao, da regolamento, dovresti postare almeno un tentativo di risoluzione. Ti posto la mia risoluzione in spoiler, guardala solo se sei totalmente bloccato e non hai idee.

Considera questa cosa.
$6=3*2$ , da cui $ZZ_6 ~= ZZ_2 x ZZ_3$ , per la seconda formulazione del teorema cinese dei resti.
dunque la congruenza $x^2-=5(mod6)$ è equivalente a trovare $x in ZZ$ risolventi il sistema
$x^2-=2(mod3)$
$x^2-=1(mod2)$
considera la congruenza $x^2-=2(mod3)$ , in $ZZ_3$ $1^2=1 , 2^2=4 , 3^2=9=0 $ . Dunque non ha soluzione. di conseguenza, il sistema è incompatibile. Pertanto anche $x^2-=5(mod6) $ non ha soluzione.

Avevo iniziato la risoluzione nel tuo stesso identico modo, impostando il sistema, ma mi sfugge il passo logico successivo, quando consideri la congruenza \[x^2\equiv 2 (mod3)\]
, peraltro cosa indica la notazione \[Z_{3}\] ? Grazie dell'interessamento!

[Kashaman]

In generale,sai cosa si intende per $ZZ_n$?
Per $ZZ_n$ intendo le classi di resto della congruenza modulo $n$

[Kashaman]

Ho considerato $x^2-=2(mod3)$semplicemente perché avevo intuito che non aveva soluzione.

[Claudio1994]

"Kashaman":Ho considerato $x^2-=2(mod3)$semplicemente perché avevo intuito che non aveva soluzione.

Ok, grazie di tutto!

[Kashaman]

se hai altri dubbi, non esitare.