Endomorfismo tra classi di resto e gruppi di permutazioni

[Miky901]

Buona sera a tutti!
Vi scrivo perché avrei bisogno di aiuto nel risolvere questo esercizio:

Si considerino il gruppo $(Z_6, +)$ delle classi di resto modulo 6, il gruppo $(S_3, ·)$ delle permutazioni su tre elementi e il gruppo $(Z2, +)$ delle classi di resto modulo 2. Stabilire se sia vero o falso (fornendo una breve motivazione della risposta):
1) L’applicazione $f : Z6 → S3$ tale che
$f(0) = id, f(1) = (12), f(2) = (13), f(3) = (23), f(4) = (123), f(5) = (132)$
è un omomorfismo;

2) L’applicazione $g : S3 → Z2$ tale che
$g(id) = 0, g(12) = 1, g(13) = 1, g(23) = 1, g(123) = 0, g(132) = 0$
è un omomorfismo

Devo dimostrare l'omomorfismo, ovvero che $AA v_1, v_2 in V: f(v_1 + v_2) = f(v_1) · f(v_2)$

Inizio risolvendo il primo punto:
Decido quindi di iniziare considerando $f(0+1)=f(1)=12$ poi considero $f(0)·f(1)=id·12=12$
In questo caso verifico velocemente che la condizione è vera $AA x | f(0+x) = f(0)·f(x)$

Passo quindi a considerare la generica somma $f(1+2) = f(3) = 23$ che deve essere uguale a $f(1)·f(2)=12·13$. Questa seconda equazione tuttavia non mi sembra semplificabile dunque $f(1)·f(2)=(12)·(13)$. È corretto il mio ragionamento? Questo di fatto indica l'assenza di un omomorfismo?

[Shocker1]

L'idea che c'è dietro è giusta(cioè controllare se l'omomorfismo conserva le operazioni ed è ben definito), tuttavia $(1, 2) \circ (1, 3)$ si calcola e fa: $(1, 3, 2)$

[Miky901]

Gaffe, grazie mille!