Endomorfismi di gruppi infiniti
non sono riuscito a capire se è vero, falso, banale, difficile.
Devo capire se un endomorfismo suriettivo di un gruppo infinito sia anche iniettivo.
Mi sapete aiutare?
In realtà mi basterebbe dimostrarlo per gruppi abeliani, ma se è possibile estenderlo tanto meglio.
e poi, vale il viceversa? endomorfismo iniettivo implica endomorfismo suriettivo?
Ci abbiamo perso due ore di pausa oggi e non trovo pace!
Devo capire se un endomorfismo suriettivo di un gruppo infinito sia anche iniettivo.
Mi sapete aiutare?
In realtà mi basterebbe dimostrarlo per gruppi abeliani, ma se è possibile estenderlo tanto meglio.
e poi, vale il viceversa? endomorfismo iniettivo implica endomorfismo suriettivo?
Ci abbiamo perso due ore di pausa oggi e non trovo pace!
Risposte
Se [tex]G[/tex] è un gruppo e [tex]f:I \to I[/tex] è una funzione allora [tex]\varphi_f:G^I \to G^I, (g_i)_i \mapsto (g_{f(i)})_i[/tex] è un omomorfismo. E curiosamente la legge [tex]f \mapsto \varphi_f[/tex] manda funzioni iniettive in suriettive e viceversa.
Prova a scegliere oculatamente [tex]G,I,f[/tex].
Poi osserva che [tex]\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/tex], [tex]z \mapsto 2z[/tex] è iniettivo ma non suriettivo.
Prova a scegliere oculatamente [tex]G,I,f[/tex].
Poi osserva che [tex]\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/tex], [tex]z \mapsto 2z[/tex] è iniettivo ma non suriettivo.
"Martino":
Se [tex]G[/tex] è un gruppo e [tex]f:I \to I[/tex] è una funzione allora [tex]\varphi_f:G^I \to G^I, (g_i)_i \mapsto (g_{f(i)})_i[/tex] è un omomorfismo. E curiosamente la legge [tex]f \mapsto \varphi_f[/tex] manda funzioni iniettive in suriettive e viceversa.
Prova a scegliere oculatamente [tex]G,I,f[/tex].
Poi osserva che [tex]\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/tex], [tex]z \mapsto 2z[/tex] è iniettivo ma non suriettivo.
Forse ci sono, dovendo però capire in seguito la dimostrazione del fatto che citi.
detto [tex]H[/tex] il mio gruppo infinito e [tex]h[/tex] l'endomorfismo suriettivo,
Scelgo, nelle tue notazioni, [tex]G=I=H,f=h[/tex].
a questo punto ho che [tex]\varphi_f:G^G \to G^G, (g_g)_g \mapsto (g_{f_(g)})_g[/tex] è iniettiva e in particolare è iniettiva sulle singole componenti [tex]g[/tex]. ma sulle singole componenti coincide con la mia [tex]h[/tex], in quanto [tex](g_{f_(g)})_g=(f(g))_g=(h(g))_g[/tex]
quindi [tex]h[/tex] è iniettiva
Ci sono andato almeno vicino?
Mmh no 
a essere sincero non capisco quello che scrivi, mi manda in confusione il fatto che indichi il generico elemento di [tex]G^G[/tex] con [tex](g_g)_g[/tex], andrebbe indicato tipo con [tex](x_g)_g[/tex].
Io veramente volevo andare nell'altra direzione
Scegli [tex]I = \mathbb{N}[/tex], [tex]f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex], [tex]f(n)=2n[/tex]. Allora [tex]\varphi_f:G^{\mathbb{N}} \to G^{\mathbb{N}}[/tex], [tex](g_n)_n \mapsto (g_{2n})_n[/tex] è un endomorfismo suriettivo di [tex]G^{\mathbb{N}}[/tex]. Tuttavia se [tex]G[/tex] ha più di un elemento allora [tex]\varphi_f[/tex] non è iniettivo. Infatti preso [tex]1 \neq x \in G[/tex] si ha [tex]\varphi_f(x,1,1,...) = (1,1,1,...) = \varphi_f(1,1,1,...)[/tex].
Per fartela più semplice: se prendi [tex]\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}[/tex] e mandi via una componente, diciamo la prima, cioè vai a quoziente con [tex]H = \mathbb{Z} \times \{0\} \times \{0\} \times \cdots[/tex], gli fai il solletico a quel gruppo, nel senso che [tex]\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}/H \cong \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}[/tex], e ora se componi la proiezione canonica [tex]\mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}/H[/tex] con quell'isomorfismo [tex]\cong[/tex] ottieni bene un endomorfismo di [tex]\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}[/tex] suriettivo e non iniettivo.
Insomma la morale è che se [tex]I[/tex] è un insieme infinito allora [tex]G^I \to G^I/G \cong G^I[/tex] (notazione allegra) è un controesempio.
a essere sincero non capisco quello che scrivi, mi manda in confusione il fatto che indichi il generico elemento di [tex]G^G[/tex] con [tex](g_g)_g[/tex], andrebbe indicato tipo con [tex](x_g)_g[/tex].Io veramente volevo andare nell'altra direzione
Scegli [tex]I = \mathbb{N}[/tex], [tex]f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/tex], [tex]f(n)=2n[/tex]. Allora [tex]\varphi_f:G^{\mathbb{N}} \to G^{\mathbb{N}}[/tex], [tex](g_n)_n \mapsto (g_{2n})_n[/tex] è un endomorfismo suriettivo di [tex]G^{\mathbb{N}}[/tex]. Tuttavia se [tex]G[/tex] ha più di un elemento allora [tex]\varphi_f[/tex] non è iniettivo. Infatti preso [tex]1 \neq x \in G[/tex] si ha [tex]\varphi_f(x,1,1,...) = (1,1,1,...) = \varphi_f(1,1,1,...)[/tex].
Per fartela più semplice: se prendi [tex]\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}[/tex] e mandi via una componente, diciamo la prima, cioè vai a quoziente con [tex]H = \mathbb{Z} \times \{0\} \times \{0\} \times \cdots[/tex], gli fai il solletico a quel gruppo, nel senso che [tex]\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}/H \cong \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}[/tex], e ora se componi la proiezione canonica [tex]\mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}/H[/tex] con quell'isomorfismo [tex]\cong[/tex] ottieni bene un endomorfismo di [tex]\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}[/tex] suriettivo e non iniettivo.
Insomma la morale è che se [tex]I[/tex] è un insieme infinito allora [tex]G^I \to G^I/G \cong G^I[/tex] (notazione allegra) è un controesempio.
ok no chiaro, avevo fatto casino anche io con le notazioni.
non posso dire che [tex](x_{f_(g)})_g=(f(x_g))_g[/tex].
Grazie mille, mi hai tolto un peso!
non posso dire che [tex](x_{f_(g)})_g=(f(x_g))_g[/tex].
Grazie mille, mi hai tolto un peso!
Ultima domanda, e se G fosse il gruppo moltiplicativo di un campo di caratterista diversa da due cambia qualcosa?
Ci ho pensato un po' e non mi sembra un problema facile. Che campo avevi in mente?
Nessuno in particolare.
Stiamo facendo i primi esercizi sulle estensioni di campi e per fare uno di questi è venuta fuori la questione.
in realtà poi l'esercizio in sè aveva una soluzione molto più semplice ma mi è rimasto il dubbio.
Sò ancora un pò troppo poco di teoria dei campi per mettermi a cercare esempi strani, penso di dover aspettare di vedere un pò di chiusure algebriche di campi strani.
Stiamo facendo i primi esercizi sulle estensioni di campi e per fare uno di questi è venuta fuori la questione.
in realtà poi l'esercizio in sè aveva una soluzione molto più semplice ma mi è rimasto il dubbio.
Sò ancora un pò troppo poco di teoria dei campi per mettermi a cercare esempi strani, penso di dover aspettare di vedere un pò di chiusure algebriche di campi strani.
Occhio perché se il tuo endomorfismo proviene da un endomorfismo di [tex]K[/tex] come campo allora la questione è molto più semplice. Cioè, non tutti gli endomorfismi del gruppo [tex]K^{\ast}[/tex] provengono da endomorfismi di campo [tex]K \to K[/tex]. Un endomorfismo di campi [tex]K \to K[/tex] è automaticamente un isomorfismo di campi.
No, era solo un endomorfismo del gruppo moltiplicativo che non si estendeva al gruppo additivo.
Ma adesso mi hai incuriosito, perché non posti l'esercizio da cui è nata la questione?
In realtà era veramente stupido.
Avevamo dimostrato in classe che ogni estensione di campi di grado due è isomorfa ad un quoziente per l'ideale generato da un polinomio di secondo grado [tex]x^2+ax+c[/tex]
Dovevamo dimostrare che se il campo aveva caratterista diversa da 2, allora potevamo trovare un polinomio delle forma [tex]x^2-d[/tex].
L'idea che ci era venuta era di dimostrare che in ogni campo [tex]K[/tex]di caratterista diversa da 2 esiste almeno un non quadrato, dimostrando che L'omomorfismo [tex]f[/tex]
\( f:K^* \to K^*, x \mapsto x^2\) non è suriettivo. Ovviamente questo non è iniettivo se il campo ha caratterista diversa da due. Da qui ci siamo chiesti se esistessero endomorfismi suriettivi ma non iniettivi.
Avevamo dimostrato in classe che ogni estensione di campi di grado due è isomorfa ad un quoziente per l'ideale generato da un polinomio di secondo grado [tex]x^2+ax+c[/tex]
Dovevamo dimostrare che se il campo aveva caratterista diversa da 2, allora potevamo trovare un polinomio delle forma [tex]x^2-d[/tex].
L'idea che ci era venuta era di dimostrare che in ogni campo [tex]K[/tex]di caratterista diversa da 2 esiste almeno un non quadrato, dimostrando che L'omomorfismo [tex]f[/tex]
\( f:K^* \to K^*, x \mapsto x^2\) non è suriettivo. Ovviamente questo non è iniettivo se il campo ha caratterista diversa da due. Da qui ci siamo chiesti se esistessero endomorfismi suriettivi ma non iniettivi.
Ci sono campi [tex]K[/tex] in cui [tex]K \to K[/tex], [tex]x \mapsto x^2[/tex] è suriettiva e non iniettiva (e.g. [tex]K[/tex] algebricamente chiuso di caratteristica diversa da 2, per esempio [tex]\mathbb{C}[/tex]), ci sono campi in cui è biiettiva (e.g. [tex]\mathbb{F}_{2}[/tex]), e succede che sia iniettiva e non suriettiva, per esempio quando [tex]K = \mathbb{F}_2(X)[/tex], e in generale se e solo se [tex]K[/tex] è non perfetto di caratteristica 2.
Mmh adesso che ci penso ecco la tua risposta: [tex]\mathbb{C}^{\ast} \to \mathbb{C}^{\ast}[/tex], [tex]x \mapsto x^2[/tex] è un endomorfismo suriettivo e non iniettivo.
PS. Le domande stupide non esistono.
Mmh adesso che ci penso ecco la tua risposta: [tex]\mathbb{C}^{\ast} \to \mathbb{C}^{\ast}[/tex], [tex]x \mapsto x^2[/tex] è un endomorfismo suriettivo e non iniettivo.
PS. Le domande stupide non esistono.
Perfetto grazie mille.
Tra l'altro ripensandoci far vedere che c'è un non quadrato non mi basta per mostrare che ogni estensione di ottiene come quoziente per l'ideale generato da un polinomio nella forma [tex]x^2-d[/tex]. Partivo dal presupposto sbagliato che tutte le estensioni di grado due fossero isomorfe. Grazie mille
Tra l'altro ripensandoci far vedere che c'è un non quadrato non mi basta per mostrare che ogni estensione di ottiene come quoziente per l'ideale generato da un polinomio nella forma [tex]x^2-d[/tex]. Partivo dal presupposto sbagliato che tutte le estensioni di grado due fossero isomorfe. Grazie mille
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