Elemento invertibile in un anello euclideo
$ gamma + I $Buongiorno a tutti, ho un dubbio che mi assale, e cercando sul forum non riesco a trovare una risposta soddisfacente.
Sono nell'anello euclideo degli interi di Gauss $ ZZ $ e ho:
Sono nell'anello euclideo degli interi di Gauss $ ZZ $ e ho:
1. $I$ l'ideale generato da $alpha=-2+10i$.
2. $gamma=-1+2i$
[/list:u:1hvorinx]
Mi si chiede: è vero che l'elemento $gamma + I$ è invertibile in $ZZ // (I)$ ?
Se potessi dire che tale anello quoziente è un campo, allora avrei risolto il problema in quanto avrebbe certamente inverso.
Per dirlo dovrei avere che $I$ è ideale massimale, ossia un primo di Gauss. Cercando su internet mi pare che non lo sia perché $|alpha|=104$ non è nemmeno un numero primo.
Tuttavia, se $ZZ // (I)$ non fosse un campo, potrebbe avere ugualmente un inverso. Come faccio ad ammeterne l'esistenza?
Esistono altri strumenti che mi sfuggono al momento ?
Grazie per l'attenzione
Risposte
Sono coprimi?
Ciao, grazie per la risposta intanto.
Per essere coprimi il loro M.C.D deve essere 1.
Effettuo la divisione euclidea e trovo che $M.C.D(alpha,gamma)=i$, che è elemento invertibile in $ZZ$, quindi penso anche nel quoziente.
Perché questo basta per dire che $gamma + I$ è invertibile? Per il fatto che due elementi in un anello euclideo sono coprimi se ogni comune divisore dei due è invertibile?
E' proprio il passaggio che mi manca, perché in altri casi dove tale anello era campo l'inverso l'ho già trovato ed è una mera questione di conti
Per essere coprimi il loro M.C.D deve essere 1.
Effettuo la divisione euclidea e trovo che $M.C.D(alpha,gamma)=i$, che è elemento invertibile in $ZZ$, quindi penso anche nel quoziente.
Perché questo basta per dire che $gamma + I$ è invertibile? Per il fatto che due elementi in un anello euclideo sono coprimi se ogni comune divisore dei due è invertibile?
E' proprio il passaggio che mi manca, perché in altri casi dove tale anello era campo l'inverso l'ho già trovato ed è una mera questione di conti
Attento l'MCD non è quello...la dimostrazione della mia affermazione non è molto differente da quella che si fa per dimostrare che $k \in ZZ_n^{\ast}$ (gruppo degli invertibili modulo n) se e solo se $MCD(n,k)=1$.
Per l'M.C.D:
premetto che ho visto come si fa in giro per la rete, visto che in uni non l'abbiamo mai calcolato.
Divido per quello di norma minore, ossia $gamma$.
$ (-2+10i)/(-1+2i)*(-1-2i)/(-1-2i)=(22-6i)/5 $
per cui scrivo che $(-2+10i)=(-1+2i)(4-i) +r_1$, dove $r_1= i$.
Il resto successivo viene nullo, per cui l'M.C.D dovrebbe essere $i$...
Ma certo, tiri in ballo l'identità di Bezout !
Corretto ?
premetto che ho visto come si fa in giro per la rete, visto che in uni non l'abbiamo mai calcolato.
Divido per quello di norma minore, ossia $gamma$.
$ (-2+10i)/(-1+2i)*(-1-2i)/(-1-2i)=(22-6i)/5 $
per cui scrivo che $(-2+10i)=(-1+2i)(4-i) +r_1$, dove $r_1= i$.
Il resto successivo viene nullo, per cui l'M.C.D dovrebbe essere $i$...
"dan95":
la dimostrazione della mia affermazione non è molto differente da quella che si fa per dimostrare che $ k \in ZZ_n^{\ast} $ (gruppo degli invertibili modulo n) se e solo se $ MCD(n,k)=1 $.
Ma certo, tiri in ballo l'identità di Bezout !
Corretto ?
Una volta che trovi $r_1$ la stessa cosa che hai fatto con $-2+10i$ e $-1+2i$ la fai con $-1+2i$ e $r_1=i$ e così via...
Esatto, ho diviso $-1+2i $ per $i $ e il resto viene nullo. Infatti $-1+2i= i (i+2) $.
Dalla teoria so che l MCD è l'ultimo resto non nullo, cioè $i $
Grazie per la pazienza
Dalla teoria so che l MCD è l'ultimo resto non nullo, cioè $i $
Grazie per la pazienza
Ok ma ricorda che $i$ è invertibile in $ZZ$, quindi se il loro MCD è un invertibile sono coprimi.
Naturalmente mi ero sbagliato io prima a calcolarlo. Quindi in conclusione sono coprimi e se ho calcolato bene il suo inverso è 33...
Naturalmente mi ero sbagliato io prima a calcolarlo. Quindi in conclusione sono coprimi e se ho calcolato bene il suo inverso è 33...
Grazie mille!! Un ultima cosa... non mi trovo col tuo inverso...
Io so che $ i=(-2+10i) - (4-i)(-1+2i) $
Per ottenere l'identità di bezout moltiplico ambo i membri per $-i $ (è el. invertibile) e ottengo $1=(-i)(-2+10i) +i (4-i)(-1+2i) $.
Secondo i miei calcoli l'inverso dovrebbe essere $i (4-i) +I $
Io so che $ i=(-2+10i) - (4-i)(-1+2i) $
Per ottenere l'identità di bezout moltiplico ambo i membri per $-i $ (è el. invertibile) e ottengo $1=(-i)(-2+10i) +i (4-i)(-1+2i) $.
Secondo i miei calcoli l'inverso dovrebbe essere $i (4-i) +I $
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