Elemento inverso in un anello quoziente di polinomi. HELP!
Premetto che credo di saper svolgere l'esercizio, ma ho un orale e non capisco un passaggio, quindi se il pro.f mi chiede: "perchè hai fatto cosí?" mi attende una pessima figura 
.
Allora, l'esercizio chiede di trovare l'inverso in un anello di polinomi.
Ad esempio:
Calcolare l'inverso di $ (x-2) $ in $ (ZZ_5[x]) / (x^2 + x +2) $
Il mio ragionamento é questo:
Cerco un elemento i(x) tale che $ (x-2) * i(x) = 1 mod (x^2 + x + 1) $.
So che gli elementi di $ (ZZ_5[x]) / (x^2 + x +2) $ hanno tutti grado <2, quindi il mio polinomio inverso i(x), sará qualcosa del tipo: $ (a_0 + a_1x) $.
Quindi $ (x-2) * (a_0 + a_1x) = 3a0 + (a0 + 3a1)x + a1x^2 $
Poi $ (3a_0 + (a_0 + 3a_1)x + a_1x^2) / (x^2 + x +2) $ mi da $a1$ con resto $ (3a_0 - 2a_1) + (a_0 + 2a_1)x$.
A questo punto (1) ho letto da qualche parte in questo forum che bisogna mettere a sistema i coefficenti, prendere il coefficiente del termine noto ed eguagliarlo ad 1, mentre tutti gli altri a 0, in questo modo :
$ { ( (3a_0 - 2a_1) = 1),( (a_0 + 2a_1)x = 0):} $
Da qui, una volta risolto il sistema si sostituiscono i termini ed i gioco é fatto.
I pasaggi che non ho capito sono:
(1) perché porre il coefficiente del termine noto uguale a 1 e tutti gli altri a 0 ?
In caso siate di fretta mi basta anche un riferimento ad un teorema o altro, poi cerco di arrivarci io.
L'esame è fra poco, HELP!!!!
Grazie!
. Allora, l'esercizio chiede di trovare l'inverso in un anello di polinomi.
Ad esempio:
Calcolare l'inverso di $ (x-2) $ in $ (ZZ_5[x]) / (x^2 + x +2) $
Il mio ragionamento é questo:
Cerco un elemento i(x) tale che $ (x-2) * i(x) = 1 mod (x^2 + x + 1) $.
So che gli elementi di $ (ZZ_5[x]) / (x^2 + x +2) $ hanno tutti grado <2, quindi il mio polinomio inverso i(x), sará qualcosa del tipo: $ (a_0 + a_1x) $.
Quindi $ (x-2) * (a_0 + a_1x) = 3a0 + (a0 + 3a1)x + a1x^2 $
Poi $ (3a_0 + (a_0 + 3a_1)x + a_1x^2) / (x^2 + x +2) $ mi da $a1$ con resto $ (3a_0 - 2a_1) + (a_0 + 2a_1)x$.
A questo punto (1) ho letto da qualche parte in questo forum che bisogna mettere a sistema i coefficenti, prendere il coefficiente del termine noto ed eguagliarlo ad 1, mentre tutti gli altri a 0, in questo modo :
$ { ( (3a_0 - 2a_1) = 1),( (a_0 + 2a_1)x = 0):} $
Da qui, una volta risolto il sistema si sostituiscono i termini ed i gioco é fatto.
I pasaggi che non ho capito sono:
(1) perché porre il coefficiente del termine noto uguale a 1 e tutti gli altri a 0 ?
In caso siate di fretta mi basta anche un riferimento ad un teorema o altro, poi cerco di arrivarci io.
L'esame è fra poco, HELP!!!!
Grazie!
Risposte
Intanto il sistema che hai impostato tu è privo di senso. Quello che bisogna fare è applicare il principio di identità dei polinomi: per definizione due polinomi sono lo stesso quando tutti i coefficienti coincidono. Se vuoi imporre che [tex](3a_0-2a_1)+(a_0+2a_1)x = 1[/tex] devi imporre
[tex]\left\{\begin{matrix} 3a_0-2a_1 = 1 \\ a_0 + 2a_1 = 0\end{matrix}\right.[/tex]
e poi risolvere tenendo presente che si tratta di un sistema a coefficienti in [tex]\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[/tex].
Oppure c'è un modo alternativo che si basa sull'identità di Bézout: ti cerchi, cioè i polinomi [tex]s(x)[/tex] e [tex]t(x)[/tex] tali che [tex]s(x)(x-2)+t(x)(x^2+x+2) = \mbox{MCD}(x-2,x^2+x+2)[/tex]. Usando l'algoritmo di divisione euclidea:
[tex]x^2+x+2 = (x-2)(x+3)+3[/tex]
e quindi
[tex]3 = x^2+x+2-(x+3)(x-2)[/tex]
da cui
[tex]1 = 2(x^2+x+2)-(2x+1)(x-2)[/tex]
e quindi [tex]s(x) = -2x-1 = 3x+4[/tex], [tex]t(x) = 2[/tex]. Pertanto il tuo inverso è [tex]3x+4[/tex]. In effetti
[tex](3x+4)(x-2) = 3x^2-6x+4x-8 = 3x^2-2x+2 = 3x^2+3x+1+1 =3x^2+3x+6+1=3(x^2+x+2)+1=1[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} 3a_0-2a_1 = 1 \\ a_0 + 2a_1 = 0\end{matrix}\right.[/tex]
e poi risolvere tenendo presente che si tratta di un sistema a coefficienti in [tex]\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[/tex].
Oppure c'è un modo alternativo che si basa sull'identità di Bézout: ti cerchi, cioè i polinomi [tex]s(x)[/tex] e [tex]t(x)[/tex] tali che [tex]s(x)(x-2)+t(x)(x^2+x+2) = \mbox{MCD}(x-2,x^2+x+2)[/tex]. Usando l'algoritmo di divisione euclidea:
[tex]x^2+x+2 = (x-2)(x+3)+3[/tex]
e quindi
[tex]3 = x^2+x+2-(x+3)(x-2)[/tex]
da cui
[tex]1 = 2(x^2+x+2)-(2x+1)(x-2)[/tex]
e quindi [tex]s(x) = -2x-1 = 3x+4[/tex], [tex]t(x) = 2[/tex]. Pertanto il tuo inverso è [tex]3x+4[/tex]. In effetti
[tex](3x+4)(x-2) = 3x^2-6x+4x-8 = 3x^2-2x+2 = 3x^2+3x+1+1 =3x^2+3x+6+1=3(x^2+x+2)+1=1[/tex]
Ciao! Sto facendo anche io un esercizio simile e ho anche io dei dubbi. Vorrei sapere come passi dall'avere $ 3=x^2+x+2-(x-2)(x+3) $ , all'uguaglianza $ 1= 2(x ^2+x+2)-(2x+1)(x-2) $
Tutti gli altri passaggi mi sono chiari.
Grazie !!
Tutti gli altri passaggi mi sono chiari.
Grazie !!
Ah! Quello è semplicissimo. Come ho scritto da qualche parte, dobbiamo ricordarci che stiamo lavorando con coefficienti in [tex]\mathbb{Z}_5[/tex]. Se lavorassimo in [tex]\mathbb{R}[/tex] dovremmo dividere per 3; lavorando in [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] dobbiamo moltiplicare ambo i membri per [tex]3^{-1} = 2[/tex] (perché [tex]2\cdot 3 = 6 \equiv 1 (\mbox{mod}5)[/tex]). Ti torna?
Chiarissimo...quindi se, come nel mio esercizio, ho che il MCD è $ x-1 $ devo dividere entrambi i membri dell'uguaglianza ottenuta con il metodo delle divisioni succesive per $ (x-1)^(-1) $
No. Il mio discorso può riferirsi per sua stessa natura solo al caso MCD = 1. In effetti, se hai che MCD = x-1, allora significa che il polinomio per cui stai quozientando non è irriducibile e di conseguenza l'anello che ottieni non è un dominio integro, ossia ci sono divisori dello zero. E, come sappiamo, i divisori dello zero non sono sicuramente invertibili.
Prova a postare l'esercizio, così lo guardiamo insieme, ok
?
Prova a postare l'esercizio, così lo guardiamo insieme, ok
?
Esatto...ho notato dopo che l'anello non era un dominio di integrità e quindi l'elemento non ammetteva inverso. Grazie mille per la disponibilità!!
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