Elementi primitivi

[Annutz]

chi mi può aiutare su questo esercizo? Grazie in anticipo.

sia K un campo con 9 elementi. Quanti elementi primitivi ha K ?

[Seneca1]

Prima di cominciare a vederlo assieme ti chiedo: hai qualche idea?

[Annutz]

certo, ho provato ha ragionarci. Il campo K ha 9 elementi, quindi K\{0} ha 8 elementi. Sicuramente 1 non è elemento primitivo, quindi al massimo gli elementi primitivi sono 7.. Questa però non mi sembrava una risposta esaustiva; infatti credo che l'elemento chiave sia il fatto che K\{0} ha 8 elementi, cioè 2^3 elementi, ma non ho saputo sfruttare questo mio accorgimento.

[Seneca1]

Un modo per farlo (non il più furbo, apparentemente) è elencare gli elementi di $K = ZZ_3[X]\text{/}_((X^2 + X + 2))$ (che, a meno di isomorfismi, è il campo con 9 elementi) e cominciare a fare potenze per determinare l'ordine di ciascun elemento...

[Annutz]

sì, questo modo l'avevo già pensato anch'io; così risultano 4 elementi primitivi. Pensavo ci fosse un metodo più diretto per risolvere l'esercizio.
Pongo un'altra domanda: è vero che se un elemento è primitivo lo è anche il suo inverso?