Elementi periodici- gruppi ciclici - isomorfismi.

[Kashaman]

Dalla revisione della teoria , ho trovato questa caratterizzazione del periodo. Voglio appurare bene se ho ben compreso la dimostrazione.

Prop
Sia $(G,*)\\(G,+)$ un gruppo. Sia $g in G$ $g periodico$ . Allora
$AA n in ZZ ,$
$ng=0_G <=> o(g)|n$
( $g^n=1_G <=> o(g)|n$.
dim (caso moltiplicativo.)

Volendo mostrare la doppia equivalenza, debbo provare che il resto della divisione euclidea di $n$ per o(g) è zero in qualunque caso.
Sia $n= o(g)q+r$.
Allora $g^n=g^(o(g)q+r)= ...= g^r$
ora per ipotesi $0<=r<=o(g) => r=0$ visto che $o(g) = min { k >0| g^n=1}$. viceversa se $o(g)|n$ allora anche in questo caso $r=0$.

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Per definizione $= {nk|k in ZZ}$ ( $={g^k|k in ZZ}$) sono sottogruppi di $G$, abeliani e prendono il nome di sottogruppi ciclici.
(possono essere finiti, ed infiniti)

Infatti , si dimostra che se $$ è generato da un elemento aperiodico allora $~=ZZ$,
mentre se $$ è generato da un elemento periodico, e se $m=o(g)$ allora $~=ZZ_m$
Questo è un potente strumento per determinare se alcuni gruppi sono ciclici oppure no, e di quale tipo.
Poi mi verrebbe da dire che i gruppi ciclici sia $~=ZZ$ che $~=ZZ_m$ sono a due a due isomorfi, giusto?
ad esempio, se consideriamo $<(1,2,3,4)> ~= ZZ_4$, nevvero?
Alla fine per dimostrare che due gruppi sono isomorfi, se sappiamo che uno di loro è ciclico, basta dimostrare che l'altro lo è oppure no.
Ad esempio
$ZZ_4$ e $ZZ_2XZZ_2$.
$ZZ_4$ è banalmente ciclico, ha come (co) generatori $1,3$, che hanno entrambi periodo quattro.
Mentre in $ZZ_2XZZ_2$ il massimo periodo che si raggiunge è $2$. Di conseguenza $ZZ_2XZZ_2$ non è ciclico e non esiste l'isomorfismo.
allo stesso modo, se $G_1= {2k|k in ZZ}$, $G_2={3k| k in ZZ}$ , poiché entrambi isomorfi a$ZZ$ , si può concludere che $G_1~=G_2$
In altre parole ogni sottogruppo di $ZZ$ della forma ${nk|k in ZZ}$ è isomorfo a un'altrosottogruppo di $ZZ$ della forma ${pk| k in ZZ}$.
Domanda : gli unici sottogruppi di $ZZ$ sono solo di questa forma?

Una piccola osservazione.
Utilizzando il fatto che esistono sottogruppi di $ZZ$ isomorfi a $ZZ$ , non è la stessa cosa (o meglio si può giungere a dire che ) che esiste una corrispondenza biunivoca tra $ZZ$ e una sua parte propria e quindi $ZZ$ è infinito?

Grazie anticipatamente.

[Kashaman]

Altra cosa ho questa formula,
Sia $G$ un gruppo, $g in G$periodico allora $o(g^k) = l= (o(g))/(M.C.D(o(g),k))$

dim
voglio trovare $o(g^k)= min { l>0 | (g^k)^l=1_g}$
Se $g^(lk)=1_G => o(g)|lk => lk-=0(modo(g)$ Sia $d=M.C.D(o(g),k)$
allora la congruenza è equivalente a $l-=0(mod(o(g)/d)=(o(g))/d*f , f in ZZ$.
Per $f=1$ si ha la più piccola soluzione tale che $l>0$, quindisegue che $l=o(g)/d$ , la tesi. E' giusto?