Elementi nilpotenti di un anello
Salve a tutti, volevo avere un parere su questo esercizio.
Sia $I=(5,x^4+k^2)$ con $kinZZ$ e sia $J=(5,x^2-2)$. Sia $A=ZZ[x]$
Determinare gli elementi nilpotenti di $A//I$ al variare di $k in ZZ$. E verificare per quali $k$ è dato un epimorfismo di anelli $A//I \to A//J$
Innanzitutto osserviamo che $A//I \cong ZZ_5[x]//(x^4+k^2)$.
Ora un elemento $x$ si dice nilpotente se $x^n=0$ per $ninNN$, nella fattispecie si ha $f^n + (x^4+k^2)=x^4+k^2$ cioè $x^4+k^2$ divide $f^n$; detto in altri termini in $f$ devono comparire tutti i fattori irriducibili di $x^4+k^2$.
Sappiamo inoltre che $ZZ_5[x]//(x^4+k^2)$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $ZZ_5$ di grado strettamente minore di $4$.
$k=0$ sicuramente $x$ è nilpotente, con indice di nilpotenza $4$; allora $x(x+a),x(x^+a),x^2(x+a)$ sono elementi nilpotenti.
Se $k=2$ o $k=3$ si ha $x^4+4 \equiv x^4 -1$ questo fattorizza in $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$, cioè sono tutti fattori distinti. Pertanto non ci sono elementi nilpotenti.
$k=1$ oppure $k=4$ $f$ fattorizza in $(x^2-2)(x^2+2)$ ed anche in questo caso non ci sono elementi nilpotenti.
Quanto all'epimorfismo cercato, esso sarà la proiezione $phi : A//I \to A//J$. A tal fine imponiamo che $(x^2-2)$ divida $x^4+k^2$. Da questa divisione otteniamo resto $k^2+4$, imponendo che sia uguale a $0$ otteniamo $k=+-1$.
Che dite c'è qualche errore?
Sia $I=(5,x^4+k^2)$ con $kinZZ$ e sia $J=(5,x^2-2)$. Sia $A=ZZ[x]$
Determinare gli elementi nilpotenti di $A//I$ al variare di $k in ZZ$. E verificare per quali $k$ è dato un epimorfismo di anelli $A//I \to A//J$
Innanzitutto osserviamo che $A//I \cong ZZ_5[x]//(x^4+k^2)$.
Ora un elemento $x$ si dice nilpotente se $x^n=0$ per $ninNN$, nella fattispecie si ha $f^n + (x^4+k^2)=x^4+k^2$ cioè $x^4+k^2$ divide $f^n$; detto in altri termini in $f$ devono comparire tutti i fattori irriducibili di $x^4+k^2$.
Sappiamo inoltre che $ZZ_5[x]//(x^4+k^2)$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $ZZ_5$ di grado strettamente minore di $4$.
$k=0$ sicuramente $x$ è nilpotente, con indice di nilpotenza $4$; allora $x(x+a),x(x^+a),x^2(x+a)$ sono elementi nilpotenti.
Se $k=2$ o $k=3$ si ha $x^4+4 \equiv x^4 -1$ questo fattorizza in $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$, cioè sono tutti fattori distinti. Pertanto non ci sono elementi nilpotenti.
$k=1$ oppure $k=4$ $f$ fattorizza in $(x^2-2)(x^2+2)$ ed anche in questo caso non ci sono elementi nilpotenti.
Quanto all'epimorfismo cercato, esso sarà la proiezione $phi : A//I \to A//J$. A tal fine imponiamo che $(x^2-2)$ divida $x^4+k^2$. Da questa divisione otteniamo resto $k^2+4$, imponendo che sia uguale a $0$ otteniamo $k=+-1$.
Che dite c'è qualche errore?
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