Elementi minimali, massimali ... di un insieme
Sto studiando la parte di Algebra riguardante Insiemi e relazioni, sono arrivato agli ordinamenti e più precisamente alla parte che definisce minimo, massimo, minimali etc etc.
Il libro definisce:
Sia $ (A, <=) $ un insieme parzialmente ordinato e sia $ a in A $ e $ B sube A $. Diremo che
$ a $ è il minimo di $ A $ se $(a <= x) forall x in A $
$ a $ è il massimoo di $ A $ se $(a >= x) forall x in A $
$ a $ è un elemento minimale di $ A $ se $forall x in A $ si ha che $x<=a$ implica $x=a$
$ a $ è un elemento massimale di $ A $ se $forall x in A $ si ha che $x>=a$ implica $x=a$
$ a $ è un minorante di $ B $ se $a<=b forall b in B$
$ a $ è un maggiorante di $ B $ se $a>=b forall b in B$
Chi mi può fare però un esempio, con un insieme $A$ definito, con un tot elementi, ad esempio $A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }$? Come si procede??
Se l'ordinamento è $(A, |)$ come si procede???
Cordiali saluti
Il libro definisce:
Sia $ (A, <=) $ un insieme parzialmente ordinato e sia $ a in A $ e $ B sube A $. Diremo che
$ a $ è il minimo di $ A $ se $(a <= x) forall x in A $
$ a $ è il massimoo di $ A $ se $(a >= x) forall x in A $
$ a $ è un elemento minimale di $ A $ se $forall x in A $ si ha che $x<=a$ implica $x=a$
$ a $ è un elemento massimale di $ A $ se $forall x in A $ si ha che $x>=a$ implica $x=a$
$ a $ è un minorante di $ B $ se $a<=b forall b in B$
$ a $ è un maggiorante di $ B $ se $a>=b forall b in B$
Chi mi può fare però un esempio, con un insieme $A$ definito, con un tot elementi, ad esempio $A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }$? Come si procede??
Se l'ordinamento è $(A, |)$ come si procede???
Cordiali saluti
Risposte
[mod="Martino"]Sposto in algebra. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Ho capito l'esempio su $NN$ e sul perché tale insieme non ha massimale, non so però, se ho capito perché l'insieme $A={1,2,3,4,5}$ ha un massimale ed è 5.
Per definizione di massimale ho:
$a$ è un e. massimale di $A$ se $(forall x in A)(a<=x rArr a=x)$
quindi $a=5$ è un massimale di $A$ se $(forall x in A)(a<=x rArr a=x)$ dunque a=5 dovrebbe essere minore o uguale di 1,2,3,4 e 5, non è minore di nessuno ma è uguale a 5 e quindi vale anche l'implicazione successiva. Giusto il ragionamento???
invece $a=1$ è un e. minimale di $A$ se $(forall x in A)(a>=x rArr a=x)$ dunque a=1 dovrebbe essere maggiore o uguale di 1,2,3,4 e 5, non è maggiore di nessuno, ma come sopra $1=x=1$ e segue anche l'implicazione. Così che devo procedere???
In quali casi, minorante e maggiorante non coincidono con minimo e massimo, posso avere un esempio?
Per definizione di massimale ho:
$a$ è un e. massimale di $A$ se $(forall x in A)(a<=x rArr a=x)$
quindi $a=5$ è un massimale di $A$ se $(forall x in A)(a<=x rArr a=x)$ dunque a=5 dovrebbe essere minore o uguale di 1,2,3,4 e 5, non è minore di nessuno ma è uguale a 5 e quindi vale anche l'implicazione successiva. Giusto il ragionamento???
invece $a=1$ è un e. minimale di $A$ se $(forall x in A)(a>=x rArr a=x)$ dunque a=1 dovrebbe essere maggiore o uguale di 1,2,3,4 e 5, non è maggiore di nessuno, ma come sopra $1=x=1$ e segue anche l'implicazione. Così che devo procedere???
In quali casi, minorante e maggiorante non coincidono con minimo e massimo, posso avere un esempio?
Ad esempio considerato l'insieme ordinato $(NN,<)$ e il sottoinsieme $A sub NN = {4,5,6,7}$ avrai che $4 in A$ e' il minimo di $A$ e $3 in NN$ e' uno dei minoranti di $A$, mentre $7 in A$ e' il massimo di $A$ e $8 in NN$ e' uno dei (infiniti) maggioranti.
Edit: scusate ma avevo sbagliato a scrivere la relazione di inclusione: è $A sub NN$ e non $A sup NN$, anche se dal contesto era chiaro
Edit: scusate ma avevo sbagliato a scrivere la relazione di inclusione: è $A sub NN$ e non $A sup NN$, anche se dal contesto era chiaro
"GundamRX91":
Ad esempio considerato l'insieme ordinato $(NN,<)$ e il sottoinsieme $A sup NN = {4,5,6,7}$ avrai che $4 in A$ e' il minimo di $A$ e $3 in NN$ e' uno dei minoranti di $A$, mentre $7 in A$ e' il massimo di $A$ e $8 in NN$ e' uno dei (infiniti) massimi.
Quindi essendo $NN$ un insieme limitato inferiormente ammette dei minoranti, ma siccome non è limitato superiormente non ammette dei maggioranti per $A$.
Essendo $A$ limitato superiormente e inferiormente ammette sia minimo che massimo.
Giusto?
Se consideri $(NN,<=)$ allora puoi dire che in $NN$ minimo, minorante ed estremo inferiore coincidono, mentre non sono definiti il massimo, il maggiorante e ovviamente l'estremo superiore (o meglio $\text{Sup} = +oo$), ma questo non implica che non ammetta dei maggioranti per $A$, anzi ne ammette infiniti (come indicato, tutti i numero da 8 in poi sono dei maggioranti di $A$).
Ok per il resto.
Ok per il resto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo