Elementi massimali e morfismi di poset su \( \mathbb{N} \)
Muovendo da questa discussione, voglio chiedere una cosa.
La proprietà da cui discendono risultati di algebra lineare quali "ogni spazio finitamente generato ha una base" e "un insieme di \( \dim{V} \) vettori linearmente indipendenti genera anche lo spazio" è la seguente.
Se \( V \) è uno spazio vettoriale finitamente generato, un insieme è massimale nel poset \( \mathcal{B} \) degli insiemi linearmente indipendenti se e solo se il suo cardinale è il massimo nell'insieme dei cardinali corrispondenti a insiemi linearmente indipendenti.
Ora, mi sto chiedendo se questa proprietà sia qualcosa di più universale.
Considerato un insieme parzialmente ordinato \( \left(P,{\sqsubseteq}\right) \), quando è in genere possibile trovare un funzione che rispetti gli ordini verso un sottoinsieme di \( \mathbb{N} \)?
Quello che mi piacerebbe valesse è in particolare questo.
Esista una funzione monotona di un poset parzialmente ordinato \( P \) verso un sottoinsieme \( A\subset N \). Allora \( P \) ha elementi massimali se e solo se \( A \) ha massimo; in tal caso, un elemento \( p\in P \) è massimale se e solo se la sua immagine \( fp \) è il massimo di \( A \).
edit. Corretto typo nel titolo.
La proprietà da cui discendono risultati di algebra lineare quali "ogni spazio finitamente generato ha una base" e "un insieme di \( \dim{V} \) vettori linearmente indipendenti genera anche lo spazio" è la seguente.
Se \( V \) è uno spazio vettoriale finitamente generato, un insieme è massimale nel poset \( \mathcal{B} \) degli insiemi linearmente indipendenti se e solo se il suo cardinale è il massimo nell'insieme dei cardinali corrispondenti a insiemi linearmente indipendenti.
Ora, mi sto chiedendo se questa proprietà sia qualcosa di più universale.
Considerato un insieme parzialmente ordinato \( \left(P,{\sqsubseteq}\right) \), quando è in genere possibile trovare un funzione che rispetti gli ordini verso un sottoinsieme di \( \mathbb{N} \)?
Quello che mi piacerebbe valesse è in particolare questo.
Esista una funzione monotona di un poset parzialmente ordinato \( P \) verso un sottoinsieme \( A\subset N \). Allora \( P \) ha elementi massimali se e solo se \( A \) ha massimo; in tal caso, un elemento \( p\in P \) è massimale se e solo se la sua immagine \( fp \) è il massimo di \( A \).
edit. Corretto typo nel titolo.
Risposte
Banalmente sì. Definisci
$f(x)=1$ se $x$ non è massimale.
$f(x)=2$ se $x$ è massimale.
Si può farne una versione strettamente monotona se vuoi.
Penso che tu debba riformulare la domanda.
$f(x)=1$ se $x$ non è massimale.
$f(x)=2$ se $x$ è massimale.
Si può farne una versione strettamente monotona se vuoi.
Penso che tu debba riformulare la domanda.
Dato un morfismo di poset \(f\colon P\to \mathbb{N}\), che soddisfa la condizione aggiuntiva che \(f(A) = f(B)\) se e solo se \(A \perp B\) oppure \(A \approx B\)[nota]Ho usato la notazione \(A \perp B\) per indicare che \(A\npreceq B\) e \(B\npreceq A\), e la notazione \(A \approx B\) per indicare che \(A\preceq B\) e \(B\preceq A\).[/nota], allora la presenza di un massimo di \(f(P)\) è una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché \(P\) abbia elementi massimali.
D'altra parte non era strettamente necessario usare questa cosa nella tua dimostrazione.
D'altra parte non era strettamente necessario usare questa cosa nella tua dimostrazione.
Grazie intanto per le risposte.
@Martino Non sto cercando di provare che una tale funzione esiste, ma che tra le conseguenze dell'esistenza di una tale funzione c'è il fatto che gli elementi massimali e i massimi in qualche modo coincidano.
@vict85 La condizione \( A\approx B\) non è ridondante, per la proprietà transitiva?
(Comunque sì, la cosa mi sembra un po' una perdita di tempo, effettivamente
)
@Martino Non sto cercando di provare che una tale funzione esiste, ma che tra le conseguenze dell'esistenza di una tale funzione c'è il fatto che gli elementi massimali e i massimi in qualche modo coincidano.
@vict85 La condizione \( A\approx B\) non è ridondante, per la proprietà transitiva?
(Comunque sì, la cosa mi sembra un po' una perdita di tempo, effettivamente
)
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