Elementi irriducibili

[Pierlu11]

Come posso mostrare che un numero in $ ZZ[sqrt(-n)] $ è irriducibile $ 4 $

Se considero ad esempio $ 2inZZ[sqrt(-5)] $ , io ho pensato di usare il seguente procedimento: se $ a+bsqrt(-5 $ divide 2 allora $ a^2+5b^2 $ divide $ 4 $ , ora devo dimostrare che $ a+bsqrt(-5) $ è un divisore banale...

[Maci86]

Irriducibile $4$ non capisco cosa tu intenda, ma proviamo a vedere nello specifico il tuo esempio:
$a+b sqrt(-5)|2 Rightarrow a^2+5b^2|4 Rightarrow a in {1,-1,2,-2} vv b=0$
Spiegami cosa intendi con irriducibile 4 che provo ad aiutarti!

[Pierlu11]

E' uscito un 4 di troppo... ci dovrebbe essere un punto al suo posto...

[Maci86]

Diciamo che i divisori devono avere questa proprietà:
$a+b sqrt(-n)| alpha Rightarrow a^2+nb^2| alpha^2$
Vediamo che numeri possiamo ottenere in questo modo:
$b=0$ mi esclude tutti i numeri che non sono primi in $ZZ$.
$a=0$ mi esclude il numero $alpha$ se $alpha=sqrt(n)$.
$a=b=1$ mi esclude il numero $alpha$ se $alpha=sqrt(n+1)$.
$(a,b)=1$, cioè sono primi tra loro, si generano una masnada di possibili divisori che non sono mai banali.
Non credo ci sia un metodo standard se non seguire questi grossi filoni. Spero di averti aiutato