Elementi invertibili e divisori dello zero
Buongiorno ragazzi,qualcuno sa dirmi come risolvere questo tipo di esecizio?E' proprio il raginamento da fare per arrivarci che mi manca...Grazie
$ EE m in N^+ "tale che "Zm " abbia esattamente 3 elementi invertibili e 7 divisori dello zero " $
$ EE m in N^+ "tale che "Zm " abbia esattamente 3 elementi invertibili e 7 divisori dello zero " $
Risposte
Non usare le formule per scrivere il testo.
Il problema ti chiede se esiste oppure di trovarlo?
Comunque per incominciare prova a riscrivere l'essere invertibile o divisore dello zero in termini di divisori comuni con \(\displaystyle m \).
Il problema ti chiede se esiste oppure di trovarlo?
Comunque per incominciare prova a riscrivere l'essere invertibile o divisore dello zero in termini di divisori comuni con \(\displaystyle m \).
Si scusa ho sbagliato a scrivere,nel senso che si chiede di trovarlo.
Non riesco ad arrivarci alla seconda cosa che hai detto.Come devo procedere?
Non riesco ad arrivarci alla seconda cosa che hai detto.Come devo procedere?
Il numero degli elementi invertibili di $ZZ_m$ è dato dalla funzione di Eulero $\phi(m)=|(ZZ_m)^×|$ che ci da il numero di numeri minori e coprimi con $m$ dunque dobbiamo porre una prima condizione
$$\phi(m)=m(1-1/p_1)(1-1/p_2)\cdots(1-1/p_k)=3$$
Dove $p_1,...,p_k$ sono i primi che dividono $m$.
Inoltre sappiamo che ci sono 7 divisori dello zero cioè tutti i divisori di $m$ esclusi 1 e $m$ devono essere 7, come si calcolano i divisori di un numero $m=p_1^{v_1}p_2^{v_2} \cdots p_k^{v_k}$ con la formula
$d(m)-2=(v_1+1)(v_2+1)\cdots(v_k+1)-2=7 \Rightarrow (v_1+1)(v_2+1)\cdots(v_k+1)=9$
Ma $9=3^2=9\cdot 1$ e ogni fattore $v_i+1>1$ quindi al più $i=2$ cioè $m$ ha al più due fattori primi, supponiamo abbia esattamente 2 fattori primi dunque si avrebbe che $v_{1}=v_{2}=2$ e quindi $m=p^2q^2$ ma $\phi(m)=pq(p-1)(q-1)=3$ che è assurdo poiché 3 è primo. Procedi analogamente supponendo che $m$ abbia un solo fattore primo e quindi $v_1=8$.
$$\phi(m)=m(1-1/p_1)(1-1/p_2)\cdots(1-1/p_k)=3$$
Dove $p_1,...,p_k$ sono i primi che dividono $m$.
Inoltre sappiamo che ci sono 7 divisori dello zero cioè tutti i divisori di $m$ esclusi 1 e $m$ devono essere 7, come si calcolano i divisori di un numero $m=p_1^{v_1}p_2^{v_2} \cdots p_k^{v_k}$ con la formula
$d(m)-2=(v_1+1)(v_2+1)\cdots(v_k+1)-2=7 \Rightarrow (v_1+1)(v_2+1)\cdots(v_k+1)=9$
Ma $9=3^2=9\cdot 1$ e ogni fattore $v_i+1>1$ quindi al più $i=2$ cioè $m$ ha al più due fattori primi, supponiamo abbia esattamente 2 fattori primi dunque si avrebbe che $v_{1}=v_{2}=2$ e quindi $m=p^2q^2$ ma $\phi(m)=pq(p-1)(q-1)=3$ che è assurdo poiché 3 è primo. Procedi analogamente supponendo che $m$ abbia un solo fattore primo e quindi $v_1=8$.
L'anello \(\mathbb{Z}_m\) gode della proprietà che ogni elemento non invertibile è uno zero divisore. Infatti se \(\displaystyle (s,m) = t \) allora \(\displaystyle \frac{m}{t}s = \frac{s}{t}m\). Quindi ogni numero che non sia coprimo con \(\displaystyle m \) è uno zero divisore (non soltanto i divisori di \(\displaystyle m \), ma tutti i loro multipli).
Fatto questo accenno non rimane altro che fare \(\displaystyle m = 3+7 = 10 \), d'altra parte \(\displaystyle \phi(10) = 4\neq 3 \). Quindi non esiste alcun \(\displaystyle m \) con quella proprietà.
Fatto questo accenno non rimane altro che fare \(\displaystyle m = 3+7 = 10 \), d'altra parte \(\displaystyle \phi(10) = 4\neq 3 \). Quindi non esiste alcun \(\displaystyle m \) con quella proprietà.
Hai ragione Vict85 grazie per la dritta 
Gli elementi invertibili formano un gruppo con elemento neutro $1$.
Se il gruppo ha tre elementi, allora l'ordine dell'elemento
invertibile $-1$ divide $3$ ed e' quindi per forza uguale a $1$.
Questo implica che $-1=1$ e quindi $m$ divide $2$. Contraddizione.
Se il gruppo ha tre elementi, allora l'ordine dell'elemento
invertibile $-1$ divide $3$ ed e' quindi per forza uguale a $1$.
Questo implica che $-1=1$ e quindi $m$ divide $2$. Contraddizione.
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