Elementi invertibili di un anello con unità.
Ieri uno studente di matematica mi ha posto il seguente esercizio, a cui ho dato una risposta, ma adesso che ci penso la cosa mi puzza! Il fatto è che in Algebra sono veramente tanto tanto arrugginito... e la teoria degli anelli non mi è mai piaciuta un gran che! 
L'esercizio è il seguente:
Sia $R$ un anello con unità, $w\in R$ un elemento nilpotente e $u\in U(R)$ un elemento invertibile tale che $uw=wu$. Provare che $u+w$ è invertibile.
Ora, se $n\in NN$ è tale che $w^n=0$ e $w^k\ne 0$ per ogni $k
$(u+w)(u^{-1}-u^{-2}w)=1-u^{-1}w+wu^{-1}-w^2 u^{-2}=1$
(perché la commutatività di $u$ e $w$ garantisce anche quella tra $u^{-1}$ e $w$.)
Ma quando $n>2$ ? Ci ho provato e riprovato, ma non riesco a tirarne fuori niente di buono! Avevo pensato anche a provare a dimostrare tutto per assurdo, supponendo che $u+w$ non fosse invertibile... e lì mi sono chiesto: ma è vero che in un anello, se un elemento non è invertibile è sempre un divisore dello zero? (lo so, sarà una domanda del cavolo, anche perché a senso mi pare vera, ma non riesco proprio a dimostrarmelo!)
Un'ultima cosa: avevo pensato di usare qualche teorema che coinvolge il quoziente tra $R$ e gli ideali generati da $u$ e $u+w$... ma anche in quel caso, io ricordo solo risultati con anelli "commutativi" con unità, e non con anelli con unità qualsiasi!
P.S.: in qualche modo, mi sembra di aver sfruttato poco la proprietà di nilpotenza di $w$... forse la chiave è lì, e forse dovrei pensare a qualche potenza di $u+w$.... ma cavolo ci giro intorno e non mi viene niente!
L'esercizio è il seguente:
Sia $R$ un anello con unità, $w\in R$ un elemento nilpotente e $u\in U(R)$ un elemento invertibile tale che $uw=wu$. Provare che $u+w$ è invertibile.
Ora, se $n\in NN$ è tale che $w^n=0$ e $w^k\ne 0$ per ogni $k
$(u+w)(u^{-1}-u^{-2}w)=1-u^{-1}w+wu^{-1}-w^2 u^{-2}=1$
(perché la commutatività di $u$ e $w$ garantisce anche quella tra $u^{-1}$ e $w$.)
Ma quando $n>2$ ? Ci ho provato e riprovato, ma non riesco a tirarne fuori niente di buono! Avevo pensato anche a provare a dimostrare tutto per assurdo, supponendo che $u+w$ non fosse invertibile... e lì mi sono chiesto: ma è vero che in un anello, se un elemento non è invertibile è sempre un divisore dello zero? (lo so, sarà una domanda del cavolo, anche perché a senso mi pare vera, ma non riesco proprio a dimostrarmelo!)
Un'ultima cosa: avevo pensato di usare qualche teorema che coinvolge il quoziente tra $R$ e gli ideali generati da $u$ e $u+w$... ma anche in quel caso, io ricordo solo risultati con anelli "commutativi" con unità, e non con anelli con unità qualsiasi!
P.S.: in qualche modo, mi sembra di aver sfruttato poco la proprietà di nilpotenza di $w$... forse la chiave è lì, e forse dovrei pensare a qualche potenza di $u+w$.... ma cavolo ci giro intorno e non mi viene niente!
Risposte
Prova ad elevare $u+w$ alla $n$ con $n$ grande! 
Modifico: ok, vedo che ci avevi gia' pensato. Beh ora basta osservare che per $n$ abbastanza grande hai $(u+w)^n=u^n$.
Modifico: ok, vedo che ci avevi gia' pensato. Beh ora basta osservare che per $n$ abbastanza grande hai $(u+w)^n=u^n$.
"ciampax":
è vero che in un anello, se un elemento non è invertibile è sempre un divisore dello zero? (lo so, sarà una domanda del cavolo, anche perché a senso mi pare vera, ma non riesco proprio a dimostrarmelo!)
rispondo a questa questione contribuendo così all'ordine nell'universo
...è vero nel caso di anelli finiti con unità ma non in generale... provo a ricostruire la dimostrazione:
sia $a$ un elemento dell'anello diverso da 0... costruendo $a,a^2,a^3,...$ prima o poi si ritrova lo stesso elemento (anello finito), da cui $a^m=a^n$ con m>n, ovvero $a^n(a^(m-n)-1)=0$, e quindi o a^n è divisore di zero (da cui segue che anche a è un divisore di zero: infatti da a^nb=0 segue $a((a^(n-1))b)=0$ e quindi se a non è un divisore di zero lo è a^(n-1), andando avanti...)), oppure si deve ammettere che a^(m-n)=1, da cui segue facilmente che a possiede inverso...
la ricordavo più corta anche se l'idea mi sembra fosse quella... boh...
nel caso di anelli infiniti è falso, basta prendere $C(R)$ le funzioni reali continue con somma e prodotto puntuali... una funzione che si annulla solo in un punto non è nè invertibile nè divisore dello zero...
Giusto! E io che continuavo a farmi esempi con gli $ZZ_n$! Ma che idiota!
Ok, e allora come faccio a dimostrare sta cosa?
Edit: Non capisco perché dovrebbe essere $(u+w)^n=u^n$ con $n$ grande! Scusa, se l'indice di nilpotenza è 2, ad esempio, viene
$(u+w)^k=u^k+kuw$ che mi sembra diverso da $u^n$. O mi state dicendo che nilpotente su un anello implica che $nw=0$ per qualche $n$ naturale? Perché se è così, allora è l'esercizio propostomi dallo studente che è sbagliato!
Ri Edit: ok, nilpotente è relativo alle potenze, come pensavo, quindi quella cosa della potenza "grande a sufficienza" non vale!
Ok, e allora come faccio a dimostrare sta cosa?
Edit: Non capisco perché dovrebbe essere $(u+w)^n=u^n$ con $n$ grande! Scusa, se l'indice di nilpotenza è 2, ad esempio, viene
$(u+w)^k=u^k+kuw$ che mi sembra diverso da $u^n$. O mi state dicendo che nilpotente su un anello implica che $nw=0$ per qualche $n$ naturale? Perché se è così, allora è l'esercizio propostomi dallo studente che è sbagliato!
Ri Edit: ok, nilpotente è relativo alle potenze, come pensavo, quindi quella cosa della potenza "grande a sufficienza" non vale!
"ciampax":No hai ragione sono stato troppo frettoloso.
Edit: Non capisco perché dovrebbe essere $(u+w)^n=u^n$ con $n$ grande! Scusa, se l'indice di nilpotenza è 2, ad esempio, viene
$(u+w)^k=u^k+kuw$ che mi sembra diverso da $u^n$.
Ok, tutto a posto. Io ho fatto una cavolata ancora peggiore, visto quella roba di cui ero convinto!
Allora guarda basta osservare che il polinomio $u+w$ divide il polinomio $u^n-w^n$ quando $n$ e' pari (per Ruffini). Quindi un opportuno multiplo di $u+w$ e' una potenza di $u$.
Spero che stavolta sia giusto
Spero che stavolta sia giusto
Miseria..... è vero! Nel caso di $n$ pari è come dici tu, mentre nel caso di $n$ dispari ho che
$u^{2k+1}+w^{2k+1}=(u+w)\cdot p(u,w)$
A questo punto in entrambi i casi posso scegliere l'esponente uguale all'indice di nilpotenza per cui trovo che
$u^n=(u+w)\cdot p(u,w)$
e quindi $(u+w)^{-1}=u^{-n} p(u,w)$.
Grazie mille, ci sono.
Nel caso di $n$ pari è come dici tu, mentre nel caso di $n$ dispari ho che$u^{2k+1}+w^{2k+1}=(u+w)\cdot p(u,w)$
A questo punto in entrambi i casi posso scegliere l'esponente uguale all'indice di nilpotenza per cui trovo che
$u^n=(u+w)\cdot p(u,w)$
e quindi $(u+w)^{-1}=u^{-n} p(u,w)$.
Grazie mille, ci sono.
Non serve prendere per $n$ proprio l'indice di nilpotenza, ti basta sapere che esiste un $n$ pari tale che $w^n=0$.
Ciao!
Ciao!
Vabbè, ma $n$ risulta comodo!
Martino:
Allora guarda basta osservare che il polinomio $u+w$ divide il polinomio $u^n-w^n$ quando $n$ e' pari (per Ruffini). Quindi un opportuno multiplo di $u+w$ e' una potenza di $u$.
Spero che stavolta sia giusto
perdonate la mia ignoranza... qualcuno mi spiega il perchè più chiaramente???
"Sirya88":
[quote="Martino"]Allora guarda basta osservare che il polinomio $u+w$ divide il polinomio $u^n-w^n$ quando $n$ e' pari (per Ruffini). Quindi un opportuno multiplo di $u+w$ e' una potenza di $u$.
Spero che stavolta sia giusto
perdonate la mia ignoranza... qualcuno mi spiega il perchè più chiaramente???[/quote]Si tratta di dimostrare che $x+1$ divide $x^n-1$ quando $n$ e' pari.
Infatti se dimostri questo poi puoi porre $x=u/w$ e ottieni il risultato: puoi scrivere $(u/w-1)P(u/w)=(u/w)^n-1$ per un opportuno polinomio $P$ (in una variabile) di grado $n-1$, quindi moltiplicando per $w^n$ ottieni $(u-w)Q(u,w)=u^n-w^n$ dove $Q(u,w)=P(u/w)w^{n-1}$ e' un polinomio nelle due variabili $u,w$.
Siccome $-1$ e' uno zero di $x^n-1$ (perche' $n$ e' pari) basta usare il teorema di Ruffini e si conclude che $x+1$ divide $x^n-1$.
Martino:
[quote=Sirya88][quote=Martino]Allora guarda basta osservare che il polinomio $u+w$ divide il polinomio $u^n-w^n$ quando $n$ e' pari (per Ruffini). Quindi un opportuno multiplo di $u+w$ e' una potenza di $u$.
Spero che stavolta sia giusto
perdonate la mia ignoranza... qualcuno mi spiega il perchè più chiaramente???[/quote]Si tratta di dimostrare che $x+1$ divide $x^n-1$ quando $n$ e' pari.
Infatti se dimostri questo poi puoi porre $x=u/w$ e ottieni il risultato: puoi scrivere $(u/w-1)P(u/w)=(u/w)^n-1$ per un opportuno polinomio $P$ (in una variabile) di grado $n-1$, quindi moltiplicando per $w^n$ ottieni $(u-w)Q(u,w)=u^n-w^n$ dove $Q(u,w)=P(u/w)w^{n-1}$ e' un polinomio nelle due variabili $u,w$.
Siccome $-1$ e' uno zero di $x^n-1$ (perche' $n$ e' pari) basta usare il teorema di Ruffini e si conclude che $x+1$ divide $x^n-1$.[/quote]
chiarissimo!
grazie
Prego ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo