Elementi di un certo ordine ed il centro in un Gruppo
Buongiorno a tutti.
Sono alle prese con questo esercizio che afferma dato il gruppo $G$ $~=$ $S_3$ $X$ $Z_11$, oppure $Z6$ $X$ $Z_11$, oppure $D_33$, si calcolino gli elementi di ordine $2$ e $3$ ed il centro.
Per quanto riguarda gli elementi ho provato ragionando in questo modo:
si ha che l'equazione $g^d = 1 in G_n$ ha soluzione se $d/n$ e ne ha in generale $(d,n)$. Pertanto si ha che
$g^2 =1$ in $S_3$ esiste in quanto l'ordine di $S_3$ è $6$ e c'è ne sono $(2,6)$ $=$ $2$
mentre in $Z_11$ non esiste elemento di ordine $2$ questo è ovvio in quanto essendo $Z_11$ un $p$-gruppo non ammette sottogruppi propri per il teorema di Lagrange.
Così abbiamo che $g^3 =1$ in $S_3$ esiste e ci sono $(3,6)$ $=$ $3$ soluzioni.
Quindi in $S_3$ $X$ $Z_11$ ci sono i seguenti numero di elementi $n_2$ $=$ $2-1 =1$ , $n_3$ $=3-2$, quindi secondo questi calcoli avrei solo un elemento di ordine $2$, $3$.
Come ho detto, non sono affatto sicuro del risultato e della correttezza del mio ragionamento
Per quanto riguarda il centro non ho proprio idea di come si calcoli, so cosa è ma non ho una soluzione pratica per calcolarlo.
In più non riesco a trovare esempi pratici di come si svolge un'esercizio del genere.
Grazie a tutti in anticipo.
Emanuele
Sono alle prese con questo esercizio che afferma dato il gruppo $G$ $~=$ $S_3$ $X$ $Z_11$, oppure $Z6$ $X$ $Z_11$, oppure $D_33$, si calcolino gli elementi di ordine $2$ e $3$ ed il centro.
Per quanto riguarda gli elementi ho provato ragionando in questo modo:
si ha che l'equazione $g^d = 1 in G_n$ ha soluzione se $d/n$ e ne ha in generale $(d,n)$. Pertanto si ha che
$g^2 =1$ in $S_3$ esiste in quanto l'ordine di $S_3$ è $6$ e c'è ne sono $(2,6)$ $=$ $2$
mentre in $Z_11$ non esiste elemento di ordine $2$ questo è ovvio in quanto essendo $Z_11$ un $p$-gruppo non ammette sottogruppi propri per il teorema di Lagrange.
Così abbiamo che $g^3 =1$ in $S_3$ esiste e ci sono $(3,6)$ $=$ $3$ soluzioni.
Quindi in $S_3$ $X$ $Z_11$ ci sono i seguenti numero di elementi $n_2$ $=$ $2-1 =1$ , $n_3$ $=3-2$, quindi secondo questi calcoli avrei solo un elemento di ordine $2$, $3$.
Come ho detto, non sono affatto sicuro del risultato e della correttezza del mio ragionamento
Per quanto riguarda il centro non ho proprio idea di come si calcoli, so cosa è ma non ho una soluzione pratica per calcolarlo.
In più non riesco a trovare esempi pratici di come si svolge un'esercizio del genere.
Grazie a tutti in anticipo.
Emanuele
Risposte
Per $D_(33)$ il discorso è abbastanza semplice se ti ricordi la sua presentazione.
$D_(33)=$
Quindi abbiamo già un elemento di ordine $2$ che è $tau$. Inoltre dalla presentazione discende che gli elementi di questo gruppo sono della forma $sigma^i tau^j$ con $j=0,1,2$, $i=1,...,33$ e si tratta di calcolare quando $(sigma^i tau^j)^2=1$.
Almeno io farei così nel caso specifico.
Quanto al centro per il gruppo diedrale c'è un risultato specifico per $n$ pari o dispari. Nel caso specifico se $n$ è dispari esso è banale.
Spero di non aver detto boiate.
Comunque essendo i tuoi gruppi di ordine $66$ il tuo problema equivale a contare i Sylow. Osserva anche che $ZZ_6 \times ZZ_(11)$ è abeliano, per cui ogni suo sottogruppo risulta normale. Inoltre è prodotto diretto di $ZZ_2 \times ZZ_3 \times ZZ_11$. Non dovrebbe essere difficile concludere. E poi essendo abeliano il centro si calcola da sè
$D_(33)=
Quindi abbiamo già un elemento di ordine $2$ che è $tau$. Inoltre dalla presentazione discende che gli elementi di questo gruppo sono della forma $sigma^i tau^j$ con $j=0,1,2$, $i=1,...,33$ e si tratta di calcolare quando $(sigma^i tau^j)^2=1$.
Almeno io farei così nel caso specifico.
Quanto al centro per il gruppo diedrale c'è un risultato specifico per $n$ pari o dispari. Nel caso specifico se $n$ è dispari esso è banale.
Spero di non aver detto boiate.
Comunque essendo i tuoi gruppi di ordine $66$ il tuo problema equivale a contare i Sylow. Osserva anche che $ZZ_6 \times ZZ_(11)$ è abeliano, per cui ogni suo sottogruppo risulta normale. Inoltre è prodotto diretto di $ZZ_2 \times ZZ_3 \times ZZ_11$. Non dovrebbe essere difficile concludere. E poi essendo abeliano il centro si calcola da sè
Intanto grazie dell'aiuto.
Si effettivamente se il gruppo $Z_6$ $X$ $Z_11$ è abeliano (come lo evinci? qual'è il ragionamento) ogni suo sottogruppo è normale, e quindi ha un solo $p$-sylow, e quindi gli elementi di ordine $2$ e $3$ sono unici. Per il centro, ricordando la definizione, potrebbe essere $C = G$, questo perchè $G$ è abeliano.
Per quanto riguarda le altre equivalenze $S_3$ $X$ $Z_11$ e $D_33$ non so bene come addentrarmi sopratutto su quest'ultima mi manca un po di teoria.
Tuttavia si dimostra e posso farlo che se $G$ è un gruppo il cui ordine è il prodotto di primi distinti esso è ciclico, inoltre si può dimostrare che ogni gruppo ciclico ammette un unico sottogruppo per ogni suo divisore. Pertanto credo chei gruppi di ordine $2$ e $3$ sono unici anche negli altri due casi, e quindi gli elementi di ordine $2$ sono 1, mentre gli elementi di ordine $3$ sono due, in quanto sono i numeri coprimi con $3$. L'esercizio mi chiede di calcolare gli elementi e non i sottoggruppi.
Per il centro, invece come si potrebbe trovarlo nel caso che un gruppo $G$ non sia abeliano. Posso dire che il centro di un gruppo non abeliano è il suo sottogruppo normale con il massimo ordine?
Si effettivamente se il gruppo $Z_6$ $X$ $Z_11$ è abeliano (come lo evinci? qual'è il ragionamento) ogni suo sottogruppo è normale, e quindi ha un solo $p$-sylow, e quindi gli elementi di ordine $2$ e $3$ sono unici. Per il centro, ricordando la definizione, potrebbe essere $C = G$, questo perchè $G$ è abeliano.
Per quanto riguarda le altre equivalenze $S_3$ $X$ $Z_11$ e $D_33$ non so bene come addentrarmi sopratutto su quest'ultima mi manca un po di teoria.
Tuttavia si dimostra e posso farlo che se $G$ è un gruppo il cui ordine è il prodotto di primi distinti esso è ciclico, inoltre si può dimostrare che ogni gruppo ciclico ammette un unico sottogruppo per ogni suo divisore. Pertanto credo chei gruppi di ordine $2$ e $3$ sono unici anche negli altri due casi, e quindi gli elementi di ordine $2$ sono 1, mentre gli elementi di ordine $3$ sono due, in quanto sono i numeri coprimi con $3$. L'esercizio mi chiede di calcolare gli elementi e non i sottoggruppi.
Per il centro, invece come si potrebbe trovarlo nel caso che un gruppo $G$ non sia abeliano. Posso dire che il centro di un gruppo non abeliano è il suo sottogruppo normale con il massimo ordine?
Caro emanuele78 
Devo ammettere che è divertente leggerti, scrivi i tuoi dubbi in modo genuino e mi fa sempre piacere risponderti!
Volevo dirti questo: mi sembra di capire che nella tua visione delle cose i gruppi siano oggetti comprensibili con la sola aritmetica.
Nella fattispecie dici:
[tex]S_3 = \{1,(12),(13),(23),(123),(132)\}[/tex].
Osserva che ci sono tre elementi di ordine 2, e non due come dici tu: sono [tex](12),\ (13),\ (23)[/tex]. Inoltre ci sono due elementi di ordine 3, non tre come dici tu: sono [tex](123),\ (132)[/tex].
Quello che dici vale per i gruppi ciclici, che sono in effetti oggetti di natura puramente aritmetica. Il fatto preciso è che dato un divisore [tex]d[/tex] di [tex]n[/tex], nel gruppo ciclico [tex]C_n[/tex] ci sono [tex]d[/tex] elementi [tex]x[/tex] tali che [tex]x^d=1[/tex], e di questi [tex]\varphi(d)[/tex] hanno ordine [tex]d[/tex].
Per quanto riguarda il resto, ti invito a provare a dimostrare la seguente cosa:
(*) Dati due gruppi abeliani [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], il prodotto diretto [tex]A \times B[/tex] è abeliano.
Prova a dimostrare questo (indico con [tex]Z(G)[/tex] il centro del gruppo [tex]G[/tex]):
(**) Dati due gruppi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], si ha [tex]Z(A \times B) = Z(A) \times Z(B)[/tex].
Osserva che (*) è un caso particolare di (**). Magari ti metto la dimostrazione in spoiler:
Per quanto riguarda [tex]D_{33}[/tex], per permetterci di aiutarti dovresti dirci come ti è stato raccontato questo gruppo. Se ne hai una visione geometrica può essere utile andare a vedere cosa commuta con le riflessioni (gli elementi di ordine 2). Ma prima di fare questo ti consiglio di capire bene il resto
Devo ammettere che è divertente leggerti, scrivi i tuoi dubbi in modo genuino e mi fa sempre piacere risponderti!
Volevo dirti questo: mi sembra di capire che nella tua visione delle cose i gruppi siano oggetti comprensibili con la sola aritmetica.
Nella fattispecie dici:
si ha che l'equazione $g^d = 1 in G_n$ ha soluzione se $d/n$ e ne ha in generale $(d,n)$. Pertanto si ha cheIl gruppo [tex]S_3[/tex] (come ogni gruppo non abeliano) non è comprensibile con la semplice aritmetica. Ti faccio notare che puoi elencare gli elementi di [tex]S_3[/tex], e questo permette di rispondere immediatamente ai dubbi relativi agli ordini degli elementi di [tex]S_3[/tex] senza evocare risultati generali:
$g^2 =1$ in $S_3$ esiste in quanto l'ordine di $S_3$ è $6$ e c'è ne sono $(2,6)$ $=$ $2$
[tex]S_3 = \{1,(12),(13),(23),(123),(132)\}[/tex].
Osserva che ci sono tre elementi di ordine 2, e non due come dici tu: sono [tex](12),\ (13),\ (23)[/tex]. Inoltre ci sono due elementi di ordine 3, non tre come dici tu: sono [tex](123),\ (132)[/tex].
Quello che dici vale per i gruppi ciclici, che sono in effetti oggetti di natura puramente aritmetica. Il fatto preciso è che dato un divisore [tex]d[/tex] di [tex]n[/tex], nel gruppo ciclico [tex]C_n[/tex] ci sono [tex]d[/tex] elementi [tex]x[/tex] tali che [tex]x^d=1[/tex], e di questi [tex]\varphi(d)[/tex] hanno ordine [tex]d[/tex].
Per quanto riguarda il resto, ti invito a provare a dimostrare la seguente cosa:
(*) Dati due gruppi abeliani [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], il prodotto diretto [tex]A \times B[/tex] è abeliano.
si dimostra e posso farlo che se G è un gruppo il cui ordine è il prodotto di primi distinti esso è ciclicoQuesto mi invita a farti osservare un'altra cosa che ho notato: trascuri spesso la presenza di controesempi alle tue affermazioni. Cosa mi dici del gruppo [tex]S_3[/tex]? Non è certo ciclico (non è nemmeno abeliano!), eppure il suo ordine è il prodotto di due primi distinti, [tex]6=3 \cdot 2[/tex].
Posso dire che il centro di un gruppo non abeliano è il suo sottogruppo normale con il massimo ordine?No. Prendi il mitico [tex]S_3[/tex]. Il sottogruppo normale col massimo ordine è il suo 3-sylow, mentre è facile dimostrare che il centro di [tex]S_3[/tex] è [tex]\{1\}[/tex] (prova!).
Prova a dimostrare questo (indico con [tex]Z(G)[/tex] il centro del gruppo [tex]G[/tex]):
(**) Dati due gruppi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], si ha [tex]Z(A \times B) = Z(A) \times Z(B)[/tex].
Osserva che (*) è un caso particolare di (**). Magari ti metto la dimostrazione in spoiler:
Per quanto riguarda [tex]D_{33}[/tex], per permetterci di aiutarti dovresti dirci come ti è stato raccontato questo gruppo. Se ne hai una visione geometrica può essere utile andare a vedere cosa commuta con le riflessioni (gli elementi di ordine 2). Ma prima di fare questo ti consiglio di capire bene il resto
"Martino":
Caro emanuele78
Devo ammettere che è divertente leggerti, scrivi i tuoi dubbi in modo genuino e mi fa sempre piacere risponderti!
Volevo dirti questo: mi sembra di capire che nella tua visione delle cose i gruppi siano oggetti comprensibili con la sola aritmetica.
Nella fattispecie dici:
si ha che l'equazione $g^d = 1 in G_n$ ha soluzione se $d/n$ e ne ha in generale $(d,n)$. Pertanto si ha cheIl gruppo [tex]S_3[/tex] (come ogni gruppo non abeliano) non è comprensibile con la semplice aritmetica. Ti faccio notare che puoi elencare gli elementi di [tex]S_3[/tex], e questo permette di rispondere immediatamente ai dubbi relativi agli ordini degli elementi di [tex]S_3[/tex] senza evocare risultati generali:
$g^2 =1$ in $S_3$ esiste in quanto l'ordine di $S_3$ è $6$ e c'è ne sono $(2,6)$ $=$ $2$
[tex]S_3 = \{1,(12),(13),(23),(123),(132)\}[/tex].
Osserva che ci sono tre elementi di ordine 2, e non due come dici tu: sono [tex](12),\ (13),\ (23)[/tex]. Inoltre ci sono due elementi di ordine 3, non tre come dici tu: sono [tex](123),\ (132)[/tex].
Quello che dici vale per i gruppi ciclici, che sono in effetti oggetti di natura puramente aritmetica. Il fatto preciso è che dato un divisore [tex]d[/tex] di [tex]n[/tex], nel gruppo ciclico [tex]C_n[/tex] ci sono [tex]d[/tex] elementi [tex]x[/tex] tali che [tex]x^d=1[/tex], e di questi [tex]\varphi(d)[/tex] hanno ordine [tex]d[/tex].
Per quanto riguarda il resto, ti invito a provare a dimostrare la seguente cosa:
(*) Dati due gruppi abeliani [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], il prodotto diretto [tex]A \times B[/tex] è abeliano.
si dimostra e posso farlo che se G è un gruppo il cui ordine è il prodotto di primi distinti esso è ciclicoQuesto mi invita a farti osservare un'altra cosa che ho notato: trascuri spesso la presenza di controesempi alle tue affermazioni. Cosa mi dici del gruppo [tex]S_3[/tex]? Non è certo ciclico (non è nemmeno abeliano!), eppure il suo ordine è il prodotto di due primi distinti, [tex]6=3 \cdot 2[/tex].
Posso dire che il centro di un gruppo non abeliano è il suo sottogruppo normale con il massimo ordine?No. Prendi il mitico [tex]S_3[/tex]. Il sottogruppo normale col massimo ordine è il suo 3-sylow, mentre è facile dimostrare che il centro di [tex]S_3[/tex] è [tex]\{1\}[/tex] (prova!).
Prova a dimostrare questo (indico con [tex]Z(G)[/tex] il centro del gruppo [tex]G[/tex]):
(**) Dati due gruppi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], si ha [tex]Z(A \times B) = Z(A) \times Z(B)[/tex].
Osserva che (*) è un caso particolare di (**). Magari ti metto la dimostrazione in spoiler:
Per quanto riguarda [tex]D_{33}[/tex], per permetterci di aiutarti dovresti dirci come ti è stato raccontato questo gruppo. Se ne hai una visione geometrica può essere utile andare a vedere cosa commuta con le riflessioni (gli elementi di ordine 2). Ma prima di fare questo ti consiglio di capire bene il resto
Caro Martino, chiaramente grazie.
Piccola digressione.
Sono uno studente lavoratore (un lavoro che mi consente di studiare ma non di seguire, e spero di laurearmi un giorno in Matematica
, mia passione che l'Algebra sta mettendo a dura prova ), quindi il FOL di matematicamente rappresenta per me un aiuto a dir poco enorme. Le difficoltà che sto incontrando in questa materia sono altrettanto grandi, si tratta di Algebra ma nel caso essendo annuale ingloba pure Algebra 2 (o la sua gran parte) per farne un Mostro (essendo materia annuale da 15 crediti). La mia deadline è gennaio-febbraio in cui avrò 3 possibilità per superarla.
All'interno della materia un posto di eccellenza nella mia personale graduatoria di difficoltà è la Teoria dei Gruppi, non che gli altri argomenti siano più facili (Ideali, Sistemi Cinesi, Congruenze, Eulero-Fermat ecc ecc) ma in Teoria dei Gruppi ho la spiacevole sensazione che quando penso di sapere qualche cosa ecco che subito questa certezza viene smontata da qualche esercizio.
Quindi grazie a te ed a tutti quelli che pazientemente cercano di aiutare me e gli altri.
Ritornando sull'argomento cerco di dare una mio tentativo di dimostrazione.
Quindi siano $A$ e $B$ due gruppi abeliani devo dimostrare che $A$ $X$ $B$ è abeliano.
tentativo:
siano $a,a_1 in A$ e $b,b_1 in B$ allora $(a,a_1)X(b,b_1)$ $in$ $A$$X$$B$ si ha $aba_1b_1$ $=$ $aa_1bb_1$ $=$ $a_1ab_1b$ $=$ $a_1b_1ab$ $in$ $A$ $X$ $B$.
Sui gruppi non abeliani mi sono cimentato su quelli del tipo $GL$ e $SL$. In ogni caso quell'assunto era dimostrato come fosse un risultato generale e non riferito ad un gruppo ciclico.
La tua dimostrazione sull'abelianità di $A \times B$ non mi sembra corretta o forse imprecisa.
Allora per fissare le idee supponiamo che $A \times B$ sia additivo, allora devi provare che $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_2,b_2)+(a_1,b_1)$, supponendo ovviamente che $A,B$ siano entrambi abeliani.
Allora per fissare le idee supponiamo che $A \times B$ sia additivo, allora devi provare che $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_2,b_2)+(a_1,b_1)$, supponendo ovviamente che $A,B$ siano entrambi abeliani.
"mistake89":
La tua dimostrazione sull'abelianità di $A \times B$ non mi sembra corretta o forse imprecisa.
Allora per fissare le idee supponiamo che $A \times B$ sia additivo, allora devi provare che $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_2,b_2)+(a_1,b_1)$, supponendo ovviamente che $A,B$ siano entrambi abeliani.
Forse ho capito, siano $(a_1,b_1)$, $(a_2,b_2)$ $in$ $A$$X$$B$, si ha:
$(a_1,b_1)$$X$$(a_2,a_2)$ $=$ $a_1a_2b_1b_2$ $=$ $a_1b_1a_2b_2$ $=$ $b_1a_1b_2a_2$ $=$ $b_1b_2a_1a_2$ $=$ $(a_2,b_2)X(a_1,b_1)$ $in$ $A$$X$$B$
L'ho dimostrata (penso) in notazione moltiplicativa.
Si è in notazione moltiplicativa ma tu fai dei passaggi in più che non dimostrano ciò che vogliamo.
Molto più semplicemente $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$ ed essendo $A,B$ abeliani $(a_2+a_1,b_2+b_1)=(a_2,b_2)+(a_1,b_1)$
Molto più semplicemente $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$ ed essendo $A,B$ abeliani $(a_2+a_1,b_2+b_1)=(a_2,b_2)+(a_1,b_1)$
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