Elementi cancellativi e non invertibili in un anello
Sia $\mathcal{A}$ un anello con unità e con caratteristica zero. Sappiamo che $\forall x \in \mathcal{A} $ se $x$ è invertibile allora è anche cancellativo (entrambi a destra o sinistra).
Possiamo costruire un esempio in cui l'inverso non è vero? Cioè un anello in cui ci sono elementi cancellativi non invertibili?
Se sì: esistono delle proprietà che caratterizzano un anello in cui l'inverso è sempre vero? Cioè in cui la cancellatività coincide con l'invertibilità?
Possiamo costruire un esempio in cui l'inverso non è vero? Cioè un anello in cui ci sono elementi cancellativi non invertibili?
Se sì: esistono delle proprietà che caratterizzano un anello in cui l'inverso è sempre vero? Cioè in cui la cancellatività coincide con l'invertibilità?
Risposte
Se per elemento cancellativo intendi un elemento regolare, un esempio di anello in cui ogni elemento è regolare pur non essendo invertibile: \(\displaystyle\mathbb{Z}\).
Per l'ultima domanda: basta un qualsiasi corpo (e.g. il corpo dei quaternioni \(\displaystyle\mathbb{H}\)) o un campo (e.g. \(\displaystyle\mathbb{C}\)).
Per l'ultima domanda: basta un qualsiasi corpo (e.g. il corpo dei quaternioni \(\displaystyle\mathbb{H}\)) o un campo (e.g. \(\displaystyle\mathbb{C}\)).
Sinceramente preferisco cancellable che regular in quanto il secondo termine è meno descrittivo e ha molti più usi. Insomma ci sono molte cose regolari nella matematica. Detto questo sinceramente io l'avrei tradotto in cancellabile e guardando su google direi che non sono l'unico. Considerando che la traduzione da me proposta è sul dizionario e che la definizione del dizionario è coerente con il significato matematico penso che l'uso di cancellabile sia preferibile al neologismo cancellativo. Ma sinceramente non uso mai l'italiano per queste cose, quindi non posso dirlo con certezza.
Per il resto ti basta prendere un dominio di integrità infinito che non sia un corpo. La cancellabilità coincide con l'assenza di divisori dello zero. Per vederlo ti basta considerare le funzioni \(\displaystyle a\mapsto xa \) e \(\displaystyle a\mapsto ax \). Infatti \(\displaystyle xa = xb \) implica \(\displaystyle xa - xb = 0 \) cioè \(\displaystyle x(a-b) = 0 \). Ma allora \(\displaystyle a-b = 0 \) cioè \(\displaystyle a=b \) oppure \(\displaystyle b \) è un divisore dello zero.
Consideriamo però la funzione \(\displaystyle a\mapsto xa \) nel caso in cui \(\displaystyle A \) sia finito. Nel caso finito una funzione iniettiva da un insieme in se stesso è anche suriettiva. Ma allora \(\displaystyle \exists x_r \) tale che \(\displaystyle xx_r = 1 \). Similmente \(\displaystyle \exists x_{\ell} \) tale che \(\displaystyle x_{\ell}x = 1 \). A quel punto devi dimostrare solo che \(\displaystyle x_r = x_{\ell} \) nel caso non commutativo.
Per il resto ti basta prendere un dominio di integrità infinito che non sia un corpo. La cancellabilità coincide con l'assenza di divisori dello zero. Per vederlo ti basta considerare le funzioni \(\displaystyle a\mapsto xa \) e \(\displaystyle a\mapsto ax \). Infatti \(\displaystyle xa = xb \) implica \(\displaystyle xa - xb = 0 \) cioè \(\displaystyle x(a-b) = 0 \). Ma allora \(\displaystyle a-b = 0 \) cioè \(\displaystyle a=b \) oppure \(\displaystyle b \) è un divisore dello zero.
Consideriamo però la funzione \(\displaystyle a\mapsto xa \) nel caso in cui \(\displaystyle A \) sia finito. Nel caso finito una funzione iniettiva da un insieme in se stesso è anche suriettiva. Ma allora \(\displaystyle \exists x_r \) tale che \(\displaystyle xx_r = 1 \). Similmente \(\displaystyle \exists x_{\ell} \) tale che \(\displaystyle x_{\ell}x = 1 \). A quel punto devi dimostrare solo che \(\displaystyle x_r = x_{\ell} \) nel caso non commutativo.
"j18eos":
Se per elemento cancellativo intendi un elemento regolare,
"vict85":
Sinceramente preferisco cancellable che regular ......
in effetti sulla terminologia c'è un po' di confusione. Intendevo cancellativo nel senso che c'è alla pagina
(Ma come si fa a mettere un link??).
"vict85":
La cancellabilità coincide con l'assenza di divisori dello zero
Questo mi è chiaro, ma ho preferito parlare di elementi cancellativi perché il concetto mi sembra più "primitivo" visto che vale anche in magmi in cui non c'è lo zero. Comunque in questo contesto è lo stesso.
"j18eos":
un esempio di anello in cui ogni elemento è regolare pur non essendo invertibile: Z.
"vict85":
Per il resto ti basta prendere un dominio di integrità infinito che non sia un corpo
Anche questo è chiaro. Se $\mathcal{A}$ è un dominio di integrità allora è cancellabile e non ha divisori dello zero, ma può non avere inversi, come $\mathbb{Z}$.
Ma capisco che non sono stato chiaro io con le domande. Quello che mi interessa è capire se in un anello con caratteristica zero possono convivere elementi che sono divisori dello zero e altri che non lo sono ma che comunque non hanno inverso senza che , necessariamente, tutti gli elementi di $\mathcal{A}$ siano privi di inverso . Cioè:
$\exists y\ne 0,\exists z\ne 0 \in \mathcal{A}$ t.c. $yz=0$ e $\exists x\in \mathcal{A}$ t.c. $ \{xa=0 \Rightarrow a=0\}$ e $\{xa \ne 1 \;\forall a \in \mathcal{A} \}$ e però esistono anche elementi regolarmente invertibili.
E se esistono anelli di questo tipo è possibile caratterizzarli in qualche modo? (per esempio, devono essere non commutativi... o altro).
Un'ultima questione di nomenclatura. Gli anelli unitari che non hanno divisori dello zero (come un dominio di integrità) ma non sono commutativi hanno un nome ufficiale?
In un anello che possiede divisori dello zero possiede anche elementi che non lo sono. Per un esempio di qualcosa che contenga un po' tutto ci dovrei pensare.
Il modo di inserimento dei link è corretto ma spesso fallisce con wiki. Puoi metterlo sia dentro che fuori l'indirizzo, se lo metti fuori puoi mettere dentro il testo da visualizzare.
Il modo di inserimento dei link è corretto ma spesso fallisce con wiki. Puoi metterlo sia dentro che fuori l'indirizzo, se lo metti fuori puoi mettere dentro il testo da visualizzare.
Mi pare che questo esempio possa funzionare.
L'insieme dei numeri diadici: $\mathcal{D}=\{\frac{m}{2^n}| m,n \in \mathbb{Z}\}$ è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto solite ed è un anello unitario, commutativo e di caratteristica zero. I suoi elementi invertibili sono quelli per cui $m=2^k$ con $k\in\mathbb{Z}$.
L'insieme delle matrici $M(n,\mathcal{D})$ con le solite operazioni è un anello non commutativo, in cui ci sono elementi invertibili e non invertibili (quelli il cui determinante non è invertibile) e solo alcuni di questi (quelli che hanno il determinante nullo) sono divisori dello zero.
L'insieme dei numeri diadici: $\mathcal{D}=\{\frac{m}{2^n}| m,n \in \mathbb{Z}\}$ è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto solite ed è un anello unitario, commutativo e di caratteristica zero. I suoi elementi invertibili sono quelli per cui $m=2^k$ con $k\in\mathbb{Z}$.
L'insieme delle matrici $M(n,\mathcal{D})$ con le solite operazioni è un anello non commutativo, in cui ci sono elementi invertibili e non invertibili (quelli il cui determinante non è invertibile) e solo alcuni di questi (quelli che hanno il determinante nullo) sono divisori dello zero.
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