Elementi algebrici
Non riesco a capire come si fa questo esercizio:
stabilire se il numero $ sqrt(3) - sqrt(2) $ è algebrico su $ QQ $ , ed in caso affermativo, determinare il polinomio minimo.
So cosa vuol dire elemento algebrico ma non so come svolgere l'esercizio...
Suggerimenti???
stabilire se il numero $ sqrt(3) - sqrt(2) $ è algebrico su $ QQ $ , ed in caso affermativo, determinare il polinomio minimo.
So cosa vuol dire elemento algebrico ma non so come svolgere l'esercizio...
Suggerimenti???
Risposte
Basta applicare la definizione.
Sappiamo che deve esistere un polinomio a coefficienti in $QQ$ di cui $alpha=sqrt(3)-sqrt(2)$ sia radice.
Riscriviamo tutto come $alpha^2=3+2-2sqrt(6)$ svolgiamo i calcoli e scriviamo tutto come $alpha^2-5=-2sqrt(6)$, elevando al quadrato ancora abbiamo $alpha^4+25-10alpha^2=24$ da cui il nostro polinomio è $x^4-10x^2+1=0$. Puoi verificare che $alpha$ sia la radice di questo polinomio. Se provi che questo polinomio è irriducibile su $QQ$ hai anche trovato il polinomio minimo...
Sappiamo che deve esistere un polinomio a coefficienti in $QQ$ di cui $alpha=sqrt(3)-sqrt(2)$ sia radice.
Riscriviamo tutto come $alpha^2=3+2-2sqrt(6)$ svolgiamo i calcoli e scriviamo tutto come $alpha^2-5=-2sqrt(6)$, elevando al quadrato ancora abbiamo $alpha^4+25-10alpha^2=24$ da cui il nostro polinomio è $x^4-10x^2+1=0$. Puoi verificare che $alpha$ sia la radice di questo polinomio. Se provi che questo polinomio è irriducibile su $QQ$ hai anche trovato il polinomio minimo...
Mistake89 ha anche esibito un polinomio che è annullato da quella quantità, tuttavia se sei già avanti con la teoria, potevi concludere subito sapendo che i numeri algebrici su $QQ$ formano un campo.
Quindi essendo $sqrt2$ e $-sqrt3$ algebrici banalmente, anche la loro somma lo è (chiusura rispetto all'addizione).
Ciao.
Quindi essendo $sqrt2$ e $-sqrt3$ algebrici banalmente, anche la loro somma lo è (chiusura rispetto all'addizione).
Ciao.

Come faccio a verificare che e' irriducibile su $ QQ $ ?
Eisenstein, riduzione modulo $p$, forza bruta ...
Ma non esiste nessun primo che divide 1..o mi sono rincritullita?

"Ninphyl":mistake89 ti ha semplicemente elencato una serie di tecniche per verificare l'irriducibilità di un polinomio.
Ma non esiste nessun primo che divide 1..o mi sono rincritullita?
E' un polinomio di quarto grado, per provare l'irriducibilità non basterà far vedere che non possiede radici, poichè potrebbe spezzarsi in due polinomi di secondo grado, monici... (magari buttare un occhio anche alle cosidette biquadratiche... )
io applicherei la forza bruta, cioè prendo due polinomi e considero $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4-10x^2+1$ impostando così il sistema.
Tieni presente che per il lemma di Gauss tali $a,b,c,d$ possiamo prenderli interi...
io applicherei la forza bruta, cioè prendo due polinomi e considero $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4-10x^2+1$ impostando così il sistema.
Tieni presente che per il lemma di Gauss tali $a,b,c,d$ possiamo prenderli interi...
Ci sto provando ma non ho capito,tante proposizioni le abbiamo saltate per motivi di tempo..saresti cosi gentile da scrivermi i vari passaggi,spiegandoli?anche perché sto provando altri esercizi di questo genere ma non riesco a farli..

ma non che ci siano proposizioni a riguardo, nel senso che si tratta di trovare (a mano) quali possono essere (se esistono) i numeri a,b,c,d che rendono vero l'uguaglianza.
allora avremo $x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd=x^4-10x^2+1$
Impostiamo allora un sistema $\{(a+c=0),(b+d+ac=-10),(ad+bc=0),(bd=1):}$
Il fatto che siano interi ci permette di scindere un paio di possibilità, cioè $b=d=1$ oppure $b=d=-1$. Inoltre sappiamo dalla prima equazione che $a=-c$
Ora prova a considerare i vari casi sfruttando le altre equazioni!
allora avremo $x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd=x^4-10x^2+1$
Impostiamo allora un sistema $\{(a+c=0),(b+d+ac=-10),(ad+bc=0),(bd=1):}$
Il fatto che siano interi ci permette di scindere un paio di possibilità, cioè $b=d=1$ oppure $b=d=-1$. Inoltre sappiamo dalla prima equazione che $a=-c$
Ora prova a considerare i vari casi sfruttando le altre equazioni!
Se ho fatto bene i conti viene
$(x^2-sqrt(8)x-1)(x^2+sqrt(8)x-1)$ ... E' corretto??
E se e' corretto qual e' il polinomio minimo?
$(x^2-sqrt(8)x-1)(x^2+sqrt(8)x-1)$ ... E' corretto??
E se e' corretto qual e' il polinomio minimo?
Aspetta, tu hai trovato una fattorizzazione su $RR$, ma che fosse fattorizzabile lo sapevamo già. Ma a noi serviva su $QQ$ no?, quindi se i coefficienti non sono razionali, ed hai fatto bene i conti, hai provato che è irriducibile su $QQ$ e quindi proprio quello è il nostro polinomio minimo.
GRAZIEEEEEEEEEEEE *_*
"Ninphyl":
Se ho fatto bene i conti viene $(x^2-sqrt(8)x-1)(x^2+sqrt(8)x-1)$... E' corretto?
Non vorrei confondere le idee a Ninphyl, ma questo a me non convince tanto... In [tex]\mathbb{R}[/tex] quelli si scompongono ulteriormente [tex](x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})(x + \sqrt{2} - \sqrt{3})[/tex], quindi in realtà dovresti provare che effettuando tutti i prodotti tra due di questi fattori lineari non ottieni polinomi di secondo grado a coefficienti razionali... Così puoi concludere che il polinomio è irriducibile. Oppure dovresti far vedere che il sistema scritto nei post precedenti non ammette soluzioni intere (visto che per il Lemma di Gauss se un polinomio è irriducibile in [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] lo è anche su [tex]\mathbb{Q}[x][/tex]).
scusa la domanda forse sciocca, ma se io svolgo il sistema e mi vengono come soluzioni dei radicali, non è intrinseco che non esistono soluzioni intere? e dal momento che non esistono, posso dire di aver concluso il mio esercizio e dire che finalmente quel polinomio è il mio p.minimo?
Sì, se trovi tutte le soluzioni e vedi che non ce ne sono intere va bene. Ma visto che sai a priori che le soluzioni le vorresti intere non conviene sforzarti per risolvere il sistema nei reali, è più semplice far vedere che non ammette soluzioni intere, non so se mi spiego...
in che modo?
Ti aveva già consigliato come iniziare mistake89: dall'ultima equazione [tex]bd=1 \Rightarrow (b=1 \land d=1) \lor (b=-1 \land d=-1)[/tex]. Facciamo che io analizzo il caso [tex]b=d=1[/tex] e tu provi con il secondo caso. Dalla prima equazione hai [tex]a=-c[/tex], quindi andando a sostituire nella seconda: [tex]2-a^2=0[/tex], che non ha soluzioni intere.
Immagino che, invece, per risolvere il sistema in [tex]\mathbb{R}[/tex] tu abbia dovuto studiare prima il caso [tex]d=0[/tex], poi nel caso [tex]d\neq 0[/tex] ottenere dall'ultima [tex]b=\frac{1}{d}[/tex]... Per me è più laborioso...
Immagino che, invece, per risolvere il sistema in [tex]\mathbb{R}[/tex] tu abbia dovuto studiare prima il caso [tex]d=0[/tex], poi nel caso [tex]d\neq 0[/tex] ottenere dall'ultima [tex]b=\frac{1}{d}[/tex]... Per me è più laborioso...