è possibile fare il complesso coniugato cambiando il segno della parte immaginaria ma solo nel semipiano superiore H ?

[francox1]

La domanda completa sarebbe

"è possibile fare il complesso coniugato cambiando il segno della parte immaginaria, ma prendendo come intervallo SOLO il semipiano (semispazio) superiore complesso $\mathbb {H}$ e non tutto $\mathbb {C}$ ?

Mi sono ispirato leggendo questo post
https://www.quora.com/Are-there-any-fun ... plex-plane

Definizione: se il complesso coniugato (o coniugio) di un numero complesso il numero ottenuto dal primo cambiando il segno della parte immaginaria ... "

==> come si chiama il complesso coniugato che cambia invece il segno della parte REALE anzichè della parte immaginaria e che automorfismo abbiamo in questo caso () se il complesso coniugato è un automorfismo del campo dei numeri complessi $\mathbb {C}$ (che è una particolare funzione biettiva dei numeri complessi $\mathbb {C}$ con alcune determinate proprietà)

Io vorrei che la mia funzione biettiva dei numeri complessi sia definita 'confinandone' il coniugato nel semispazio superiore complesso $\mathbb {H}$, non in tutto $\mathbb {C}$.
Voglio che la mia funzione sia modulare (come la $j$-function), non una qualsiasi funzione biettiva.

[gugo82]

Beh, non so se l'operazione che proponi abbia un nome... Chiamala $z^**$ e vedi che ti porta a fare.

Evidentemente, esso lascia fissi gli immaginari puri e solo quelli e coincide con la sua inversa (fondamentalmente è una simmetria assiale rispetto all'asse immaginario); inoltre, è evidente che $z^** = bar(-z)$ per ogni $z in CC$, quindi praticamente sempre di coniugio stai parlando.
Oltre a ciò, non mi pare abbia altre proprietà degne di nota, in quanto non ha alcun legame col modulo (ad esempio). Ma non sono un esperto, dunque cerca...