Due problemini di teoria dei campi

[afullo]

Questi mi paiono interessanti:

1. Sia sigma automorfismo, e B campo. Dimostrare che, se sigma(B) è contenuto in B, allora coincide con B.

2. Sia E estensione di Galois di F, campo di caratteristica 0. Dimostrare che esiste a appartenente ad E tale per cui E = F(a) (suggerimento: analizzare il caso in cui E=F(a1,a2) e procedere per induzione).

[bezout]

1)se per automorfismo intendi un omomorfismo da B in se stesso allora non è vero basta prendere l'omomorfismo nullo e quindi {0}=sigma(B) che è contenita diversa in B
(N.b. un omomorfismo di campi non nullo è sempre iniettivo perche il ker deve essere un ideale e gli unici ideali di un campo K sono solo (0) e K ma ker è diverso da K altrimenti sarebbe l'omomorfismo nullo)
2)basta vedere la dimostrazione del teorema dell'elemento primitivo
(N.b. un estensione di ch=0 è sempre separabile)
Spero di esserti stato di aiuto e di non aver detto sciocchezze

[afullo]

"bezout":1)se per automorfismo intendi un omomorfismo da B in se stesso allora non è vero basta prendere l'omomorfismo nullo e quindi {0}=sigma(B) che è contenita diversa in B
(N.b. un omomorfismo di campi non nullo è sempre iniettivo perche il ker deve essere un ideale e gli unici ideali di un campo K sono solo (0) e K ma ker è diverso da K altrimenti sarebbe l'omomorfismo nullo)
2)basta vedere la dimostrazione del teorema dell'elemento primitivo
(N.b. un estensione di ch=0 è sempre separabile)
Spero di esserti stato di aiuto e di non aver detto sciocchezze

1. L'automorfismo per definizione è un endomorfismo biettivo, o un isomorfismo da B in sè stesso, per cui l'omomorfismo nullo non è un automorfismo, non essendo un isomorfismo.

2. Capito, grazie

[alvinlee881]

"afullo":

1. Sia sigma automorfismo, e B campo. Dimostrare che, se sigma(B) è contenuto in B, allora coincide con B.

Questo non vuol dire nulla, devi dire di cosa è automorfismo (tipo di sruttura algebrica e nome).
Non credo tu intendessi "automorfismo di B campo", perchè per definizione di automorfismo di B (omomorfismo da B in B bigettivo) $sigma(B)=B.$ (è in particolare surgettivo)

[afullo]

"alvinlee88":[quote="afullo"]

1. Sia sigma automorfismo, e B campo. Dimostrare che, se sigma(B) è contenuto in B, allora coincide con B.

Questo non vuol dire nulla, devi dire di cosa è automorfismo (tipo di sruttura algebrica e nome).
Non credo tu intendessi "automorfismo di B campo", perchè per definizione di automorfismo di B (omomorfismo da B in B bigettivo) $sigma(B)=B.$ (è in particolare surgettivo)[/quote]
Ovviamente no, in quel caso sarebbe scontato che l'immagine è B. Intendo B sottocampo di un campo C, l'automorfismo è tra C e C, e bisogna dimostrare che B viene fissato (non necessariamente puntualmente, anche solo globalmente). In effetti come l'avevo posto io era banale, scusate per la poca chiarezza.

[alvinlee881]

Ultima precisazione: $sigma(B)subsetB$ per ogni automorfismo $sigma$ di $C$ o per ipotesi sappiamo solo che ne esiste uno che fa questa cosa? Tanto per chiarire bene i termini del problema.

[afullo]

Credo "per ogni", anche se non mi è molto chiaro perché mi hanno passato il testo nel cui enunciato viene detto di concludere un lemma visto alla lezione di un giorno in cui non ci sono stato...

[alvinlee881]

Se è per ogni è facile, e basta che $B$ e $C$ siano gruppi. Infatti per ogni $binB$ esiste $c in C$ tale che $b=sigma(c)$ ($sigma$ è surgettiva). Ma sigma è invertibile, e dunque $c=sigma^(-1)(b)$, ed essendo $sigma^(-1)$ ancora un automorfismo di $C$, per ipotesi
$c=sigma^(-1)(b)inB=>Bsubset sigma(B)$.