Due esercizi sugli anelli

[NightKnight1]

1) Sia $A$ un anello commutativo con identità. Sia $M$ un ideale massimale di $A$ tale che $1+x$ è invertibile per ogni $x in M$.
Provare che $M$ è l'unico ideale massimale di $A$.

2) Sia $A$ un dominio d'integrità (cioè anello commutativo con identità privo di divisori di zero non nulli) con un numero finito di ideali.
Provare che $A$ è un campo.

[NightKnight1]

Proprio nessuno ha un suggerimento da darmi?

[Studente Anonimo]

Quanto al secondo problema, io considererei gli ideali del tipo $(a^n)$ con $a ne 0$ fissato.
Quanto al primo, non saprei, non mi sembra così immediato.

[NightKnight1]

"Martino":Quanto al secondo problema, io considererei gli ideali del tipo $(a^n)$ con $a ne 0$ fissato.

Spero di aver capito: scelgo $a in A - {0}$, voglio far vedere che è invertibile; allora considero la catena di ideali $(a) supe (a^2) supe (a^3) supe (a^4) supe ...$: poichè il numero di ideali distinti è finito, esiste $n in NN^+$ tale che $(a^n) = (a^(n+1))$, e poiché siamo in un dominio d'integrità ciò equivale a dire che $a^n$ e $a^(n+1)$ sono associati: $exists u in A^** : a^n u = a^(n+1)$, poichè l'anello è integro e $a$ è non nullo possiamo semplificare e ottenere $a=u in A^**$.

"Martino":Quanto al primo, non saprei, non mi sembra così immediato.

Io credo che abbia a che fare con il radicale di Jacobson; però non ne esco.

[fields1]

Per il primo, osserva che se $a\notin M$, allora $a$ e' invertibile. Infatti, sia $a\notin M$. Consideriamo l'ideale somma $M+aA$. Siccome $M$ e' massimale, $M+aA=A$. In particolare, esistono $m\in M$ e $x\in A$ tali che $m+ax=1$. Dunque $ax=1-m$ e quindi $ax(1-m)^{-1}=1$: $a$ e' invertibile.

A questo punto puoi proseguire senza problemi...

[NightKnight1]

Capito!
Grazie!!!