Due domande

[eleonora-89]

siano P,Q,R,S in QQ[x]-{0} tali che PR+QS=x^2-1 dire giustificando se:
MCD(P,Q) divide x^-1

l'altra cosa che vorrei chiedervi è potreste spiegarmi come faccio a codificare una parola?mi servirebbe capire solo quale sia il procedimento...
aspetto vostre notizie ciao[/chesspos]

[alberto.cena]

$\mathbb Q[x]$ è un anello euclideo. In un anello euclideo $A$ ogni coppia di elementi $p$ e $q$ ammette un massimo comun divisore $d$,
inoltre $d =MCD(p,q)$ genera l'ideale $:= { r p + s q : r,s \in A} $ (ricorda che $A$ è un dominio ad ideali principali).
Per ipotesi il binomio $x^2 -1$ appartiene all'ideale ${ r p + s q : r,s \in \mathbb Q[x]}$ generato da $d=MCD(p,q)$, quindi $d$ divide $x^2-1$

[eleonora-89]

grazie della risposta purtroppo non ho capito molto visto che il corso che ho seguito è fontamenti di aritmetica...
comunque l'esame l'ho già fatto e l'ho passato anche con un bel voto ihih

[alberto.cena]

Complimenti per l'esame!!

Ho immediatamente inserito la tua domanda nella teoria degli anelli. Ma se hai fatto un corso di fondamenti di aritmetica probabilmente non conosci gli ideali ed altre amenità; poco importa, una risposta al quesito potrebbe essere questa.
Se $d=MCD(p,q)$, allora $d$ divide sia $p$ che $q$, cioè esistono due polinomi $a$ e $b$ tali che
$p = d*a$ e $q=d*b$.
Se andiamo a sostituire
$ p r+qs = dar+dbs =x^2-1$
ed infine raccogliamo $d$
$d(ar+bs) =x^2-1$
vediamo che $d$ divide $x^2+1$.
Meglio tardi che mai..