Dubbio teorico riguardante i campi finiti
Salve a tutti!
Come da titolo, ho un dubbio riguardo i campi finiti ed in particolare quello che riguarda la costruzione di un campo finito. Poichè sto studiando la seguente parte da una dispensa trovata su google, vi lascio il link come riferimento dato che tale dubbio parte proprio da una osservazione fatta a pagina 9: http://people.unipmn.it/catenacc/mec/campifiniti.pdf
Iniziamo con la introduzione al problema:
Partendo dal paragrafo 4 di pagina 8, ho il Teorema di Struttura che mi da la seguente proposizione: Sia $K$ un campo finito con $k$ elementi e con caratteristica $p$; allora è isomorfo a una estensione semplice $Z_p[\alpha]=(Z_p[x])/(p(x))$ (dove $p(x)$ è irriducibile).
Dalla dimostrazione avrò che partendo da un polinomio del tipo $x^(k-1)-1 in Z_p[x]$, potrò considerare un polinomio monico $p(x)$ di minimo grado avente $alpha$ come radice.
Ho inoltre a seguire il Teorema di esistenza che mi dice: Dato un numero primo$ p$ ed un intero $n$, allora esiste certamente un campo $F_q$ con $q=p^n$ elementi. (e fin qui nessun problema neanche con la dimostrazione, si limita solo a trovare il sottoinsieme del campo di spezzamento del polinomio xq-x e dimostrare che tale sottoinsieme è un campo)
Ecco che però arrivo alla osservazione 4.2 della pagina 9 che mi da problemi con la seguente proposizione: "Il teorema precedente dice anche che esiste in $Z_p[x]$ un polinomio $ p(x)$ irriducibile di grado $n$ arbitrario. Infatti consideriamo $F_(p^(n))$: per il teorema di struttura è isomorfo a una estensione semplice $(Z_p[x])/(p(x))$ e $p(x)$ quindi è irriducibile di grado $n$".
Perché di grado $ n$? anche se mi indirizza al teorema dell'esistenza e successivamente al teorema di struttura, non riesco a capire sotto quale meccanismo riesce a dirmi che il grado di $ p(x)$ possa essere uguale ad $ n$.
In altre parole, è come se volessi chiedere come faccio a dire che per trovare un campo finito di 125 elementi, allora mi basta prendere con certezza $Z_5[x]$ e considerare l'anello quoziente con l'ideale massimale generato da un polinomio di grado 3.
La restante parte dell'osservazione dove si riferisce che $p(x)$ divide $x^q-x $ l'ho anche compresa abbastanza bene, ma è proprio la parte di cui vi ho appena parlato quella in cui ho questo grandissimo dubbio.
Spero possiate rispondermi al più presto e vi ringrazio in anticipo dell'aiuto.
Come da titolo, ho un dubbio riguardo i campi finiti ed in particolare quello che riguarda la costruzione di un campo finito. Poichè sto studiando la seguente parte da una dispensa trovata su google, vi lascio il link come riferimento dato che tale dubbio parte proprio da una osservazione fatta a pagina 9: http://people.unipmn.it/catenacc/mec/campifiniti.pdf
Iniziamo con la introduzione al problema:
Partendo dal paragrafo 4 di pagina 8, ho il Teorema di Struttura che mi da la seguente proposizione: Sia $K$ un campo finito con $k$ elementi e con caratteristica $p$; allora è isomorfo a una estensione semplice $Z_p[\alpha]=(Z_p[x])/(p(x))$ (dove $p(x)$ è irriducibile).
Dalla dimostrazione avrò che partendo da un polinomio del tipo $x^(k-1)-1 in Z_p[x]$, potrò considerare un polinomio monico $p(x)$ di minimo grado avente $alpha$ come radice.
Ho inoltre a seguire il Teorema di esistenza che mi dice: Dato un numero primo$ p$ ed un intero $n$, allora esiste certamente un campo $F_q$ con $q=p^n$ elementi. (e fin qui nessun problema neanche con la dimostrazione, si limita solo a trovare il sottoinsieme del campo di spezzamento del polinomio xq-x e dimostrare che tale sottoinsieme è un campo)
Ecco che però arrivo alla osservazione 4.2 della pagina 9 che mi da problemi con la seguente proposizione: "Il teorema precedente dice anche che esiste in $Z_p[x]$ un polinomio $ p(x)$ irriducibile di grado $n$ arbitrario. Infatti consideriamo $F_(p^(n))$: per il teorema di struttura è isomorfo a una estensione semplice $(Z_p[x])/(p(x))$ e $p(x)$ quindi è irriducibile di grado $n$".
Perché di grado $ n$? anche se mi indirizza al teorema dell'esistenza e successivamente al teorema di struttura, non riesco a capire sotto quale meccanismo riesce a dirmi che il grado di $ p(x)$ possa essere uguale ad $ n$.
In altre parole, è come se volessi chiedere come faccio a dire che per trovare un campo finito di 125 elementi, allora mi basta prendere con certezza $Z_5[x]$ e considerare l'anello quoziente con l'ideale massimale generato da un polinomio di grado 3.
La restante parte dell'osservazione dove si riferisce che $p(x)$ divide $x^q-x $ l'ho anche compresa abbastanza bene, ma è proprio la parte di cui vi ho appena parlato quella in cui ho questo grandissimo dubbio.
Spero possiate rispondermi al più presto e vi ringrazio in anticipo dell'aiuto.
Risposte
Il grado di un'estensione di campi E/F è per definizione uguale alla dimensione di E su F. E' ovvio che se [tex]q=p^n[/tex] allora [tex]\mathbb{F}_q[/tex] ha dimensione [tex]n[/tex] su [tex]\mathbb{F}_p[/tex], in altre parole l'estensione [tex]\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p[/tex] ha grado [tex]n[/tex]. Infatti se E e F sono campi finiti e l'estensione E/F ha grado $n$ allora [tex]|E|=|F|^n[/tex] (pensaci è ovvio: ogni elemento è scrivibile in modo unico come combinazione lineare di vettori di una base...). Il fatto che la dimensione di [tex]\frac{\mathbb{Z}_p[X]}{(P(X))}[/tex] su [tex]\mathbb{Z}_p[/tex] sia uguale al grado del polinomio [tex]P(X)[/tex] è una delle prime cose che si vedono, una base è data dalla riduzione modulo [tex]P(X)[/tex] di [tex]1,X,X^2,...,X^{m-1}[/tex] dove [tex]m[/tex] è il grado di [tex]P(X)[/tex].
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo