Dubbio teoria di Galois
Buongiorno, ho trovato un esempio su un libro. Primo lo ricopio poi vi espongo il mio dubbio.
Sia E un campo di spezzamento per f= \( x^3-2 \) su \( Q \) .
Ora, \( [Q(\sqrt[3]{2}):Q]=3 \) e \( [Q(w):Q]=2 \) dove \( w=cos(2\pi /3) + isin(2\pi /3) \) è la radice primitiva 3 dell'unità. Pertanto, le radici del mio polinomio iniziale sono \( b_{1} \) =\sqrt[3]{2} \) , \( b_{2} \) =w\sqrt[3]{2} \) e \( b_{3} \) =w^2\sqrt[3]{2} \) . Quindi, \( E=Q(b_{1},b_{2},b_{3}) \) . Dunque \( [E]=6 \) .
Ora, \( \forall i,j \) esiste un \( Q-automorfismo \) \( \sigma_{i,j}: Q(b{i})\rightarrow Q(b{j}) \) con \( \sigma_{i,j}(b_{i})=b_{j} \) . Siccome E è un campo di spezzamento per f su \( Q(b_{i}) \) e su \( Q(b_{j}) \) esiste una estensione di \( \sigma _{i,j} \) ad un isomorfismo \( \eta _{i,j}:E\rightarrow E \) tale che \( \eta _{i,j}(b_{i})=b_{j} \) .
Ora \( \eta _{i,j}\in Gal(E|Q) \) . Osservo anche che, poiché E è campo di spezzamento e \( Q \) ha caratteristica zero, l'estensione \( E|Q \) è un'estensione di Galois. Per il noto teorema \( |Gal(E|Q)|=[E]=6 \) . Pertanto, il gruppo di Galois permuta le radici. L'unico automorfismo che fissa \( b_{1},b_{2},b_{3} \) è l'identità, Quindi l'azione di \( Gal(E|Q) \) sull'insieme delle radici di f è fedele e pertanto \( Gal(E|Q)\simeq S_{3} \) .
Adesso arriva il mio dubbio. Abbiamo detto che \( |Gal(E|Q)|=6 \) . A me tornano 9 però, con l'identità. Provo a scriverli così ci rendiamo meglio conto: \( \eta _{1,2}(b_{1})=b_{2} \) \( \eta _{1,1}(b_{1})=b_{1} \) \( \eta _{1,3}(b_{1})=b_{3} \) \( \eta _{2,1}(b_{2})=b_{1} \) \( \eta _{2,2}(b_{2})=b_{2} \) \( \eta _{2,3}(b_{2})=b_{3} \) \( \eta _{3,1}(b_{3})=b_{1} \) \( \eta _{3,2}(b_{3})=b_{2} \) \( \eta _{3,3}(b_{3})=b_{3} \) . Se li contiamo sono 9 e non 6.
Pertanto \( Gal(E|Q)= \) { \( \eta _{1,1},\eta _{1,2},\eta _{1,3},\eta _{2,1},\eta _{2,2},\eta _{2,3},\eta _{3,1},\eta _{3,2},\eta _{3,3} \) }.
Vorrei cortesemente sapere dove sto sbagliando.
Grazie per la disponibilità.
[xdom="Martino"]Ho messo il titolo in minuscolo.[/xdom]
Sia E un campo di spezzamento per f= \( x^3-2 \) su \( Q \) .
Ora, \( [Q(\sqrt[3]{2}):Q]=3 \) e \( [Q(w):Q]=2 \) dove \( w=cos(2\pi /3) + isin(2\pi /3) \) è la radice primitiva 3 dell'unità. Pertanto, le radici del mio polinomio iniziale sono \( b_{1} \) =\sqrt[3]{2} \) , \( b_{2} \) =w\sqrt[3]{2} \) e \( b_{3} \) =w^2\sqrt[3]{2} \) . Quindi, \( E=Q(b_{1},b_{2},b_{3}) \) . Dunque \( [E]=6 \) .
Ora, \( \forall i,j \) esiste un \( Q-automorfismo \) \( \sigma_{i,j}: Q(b{i})\rightarrow Q(b{j}) \) con \( \sigma_{i,j}(b_{i})=b_{j} \) . Siccome E è un campo di spezzamento per f su \( Q(b_{i}) \) e su \( Q(b_{j}) \) esiste una estensione di \( \sigma _{i,j} \) ad un isomorfismo \( \eta _{i,j}:E\rightarrow E \) tale che \( \eta _{i,j}(b_{i})=b_{j} \) .
Ora \( \eta _{i,j}\in Gal(E|Q) \) . Osservo anche che, poiché E è campo di spezzamento e \( Q \) ha caratteristica zero, l'estensione \( E|Q \) è un'estensione di Galois. Per il noto teorema \( |Gal(E|Q)|=[E]=6 \) . Pertanto, il gruppo di Galois permuta le radici. L'unico automorfismo che fissa \( b_{1},b_{2},b_{3} \) è l'identità, Quindi l'azione di \( Gal(E|Q) \) sull'insieme delle radici di f è fedele e pertanto \( Gal(E|Q)\simeq S_{3} \) .
Adesso arriva il mio dubbio. Abbiamo detto che \( |Gal(E|Q)|=6 \) . A me tornano 9 però, con l'identità. Provo a scriverli così ci rendiamo meglio conto: \( \eta _{1,2}(b_{1})=b_{2} \) \( \eta _{1,1}(b_{1})=b_{1} \) \( \eta _{1,3}(b_{1})=b_{3} \) \( \eta _{2,1}(b_{2})=b_{1} \) \( \eta _{2,2}(b_{2})=b_{2} \) \( \eta _{2,3}(b_{2})=b_{3} \) \( \eta _{3,1}(b_{3})=b_{1} \) \( \eta _{3,2}(b_{3})=b_{2} \) \( \eta _{3,3}(b_{3})=b_{3} \) . Se li contiamo sono 9 e non 6.
Pertanto \( Gal(E|Q)= \) { \( \eta _{1,1},\eta _{1,2},\eta _{1,3},\eta _{2,1},\eta _{2,2},\eta _{2,3},\eta _{3,1},\eta _{3,2},\eta _{3,3} \) }.
Vorrei cortesemente sapere dove sto sbagliando.
Grazie per la disponibilità.
[xdom="Martino"]Ho messo il titolo in minuscolo.[/xdom]
Risposte
Ma non e' detto che le estensioni $\eta_{i,j}$ siano uniche. Infatti, per ogni $\sigma_{i,j}$ ci sono
sempre due estensioni $\eta_{i,j}$. E non e' detto che le estensioni $\eta_{i,j}$ che hai esibito
siano distinte. Per esempio, potresti prendere $\eta_{1,1}$, $\eta_{2,2}$ e $\eta_{3,3}$ uguali all'identita' di $E$.
sempre due estensioni $\eta_{i,j}$. E non e' detto che le estensioni $\eta_{i,j}$ che hai esibito
siano distinte. Per esempio, potresti prendere $\eta_{1,1}$, $\eta_{2,2}$ e $\eta_{3,3}$ uguali all'identita' di $E$.
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