Dubbio svolgimento esercizio mediante principio di induzione
Salve a tutti, è il mio primo post. Ho letto il regolamento, credo di aver seguito bene le istruzioni.
Ho seguito qualche annetto fa matematica con tutti gli appunti, adesso ho ripreso a studiare e andiamo bene!
Questo è l'esercizio: (ditemi pure cosa e dove sbaglio)
[tex]$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) $[/tex]
1) procedo con caso base n=1
e sappiamo subito che [tex]i^2 = 1[/tex] e [tex]\frac{1}{6} * 1 (1+1) ( 2*1+1) = 1[/tex] Ok! proprietà verificata!
2) Suppongo che sia vero:
[tex]$\sum_{i=1}^{n-1} i^2 = \frac{1}{6} n-1(n-1+1) [2(n-1)+1] $[/tex]
e dimostro:
[tex]$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) = \sum_{i=1}^{n-1} i^2 + n^2 $[/tex]
per ipotesi di induzione:
[tex]$\sum_{i=1}^{n-1} i^2 + n^2 = \frac{1}{6} (n-1)n(2n-1) + n^2 $[/tex]
svolgiamolo la seconda parte:
[tex]$=n[\frac{1}{6}(n-1)(2n-1)+n]$[/tex]
[tex]$=n[\frac{1}{6}(2n^2-n-2n+1+6n)]$[/tex]
[tex]$=n[\frac{1}{6}(2n^2+3n+1)]$[/tex]
abbiamo così l'equazione [tex]$2n^2+3n+1=0$[/tex] e scopriamo subito che ha come soluzioni -1 e -1/2 quindi:
[tex]$n[\frac{1}{6}(1)(\frac{1}{2})] = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1)$[/tex]
Nell'ultima espressione mi sono perso! E' tutto giusto?
Ho seguito qualche annetto fa matematica con tutti gli appunti, adesso ho ripreso a studiare e andiamo bene!
Questo è l'esercizio: (ditemi pure cosa e dove sbaglio)
[tex]$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) $[/tex]
1) procedo con caso base n=1
e sappiamo subito che [tex]i^2 = 1[/tex] e [tex]\frac{1}{6} * 1 (1+1) ( 2*1+1) = 1[/tex] Ok! proprietà verificata!
2) Suppongo che sia vero:
[tex]$\sum_{i=1}^{n-1} i^2 = \frac{1}{6} n-1(n-1+1) [2(n-1)+1] $[/tex]
e dimostro:
[tex]$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) = \sum_{i=1}^{n-1} i^2 + n^2 $[/tex]
per ipotesi di induzione:
[tex]$\sum_{i=1}^{n-1} i^2 + n^2 = \frac{1}{6} (n-1)n(2n-1) + n^2 $[/tex]
svolgiamolo la seconda parte:
[tex]$=n[\frac{1}{6}(n-1)(2n-1)+n]$[/tex]
[tex]$=n[\frac{1}{6}(2n^2-n-2n+1+6n)]$[/tex]
[tex]$=n[\frac{1}{6}(2n^2+3n+1)]$[/tex]
abbiamo così l'equazione [tex]$2n^2+3n+1=0$[/tex] e scopriamo subito che ha come soluzioni -1 e -1/2 quindi:
[tex]$n[\frac{1}{6}(1)(\frac{1}{2})] = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1)$[/tex]
Nell'ultima espressione mi sono perso! E' tutto giusto?
Risposte
"Lawliet":
abbiamo così l'equazione [tex]$2n^2+3n+1=0$[/tex] e scopriamo subito che ha come soluzioni -1 e -1/2 quindi:
[tex]$n[\frac{1}{6}(1)(\frac{1}{2})] = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1)$[/tex]
Nell'ultima espressione mi sono perso! E' tutto giusto?
Ciao e benvenuto nel forum!
Perfetto lo stile del post, perfetta la scrittura in LaTeX, solo non capisco l'ultimo passaggio, io direi:
[tex]$\frac n6 (2n^2+3n+1) = \frac n6 (n+1)(2n+1)$[/tex]
per come si scompone l'equazione di secondo grado, non vedo li perchè del passaggio intermedio [tex]n[\frac{1}{6}(1)(\frac{1}{2})][/tex]
che tra l'altro non capisco bene cosa voglia dire.
"blackbishop13":
Ciao e benvenuto nel forum!
Perfetto lo stile del post, perfetta la scrittura in LaTeX,
Grazie per il benvenuto
"blackbishop13":
solo non capisco l'ultimo passaggio, io direi:
[tex]$\frac n6 (2n^2+3n+1) = \frac n6 (n+1)(2n+1)$[/tex]
per come si scompone l'equazione di secondo grado, non vedo li perchè del passaggio intermedio [tex]n[\frac{1}{6}(1)(\frac{1}{2})][/tex]
che tra l'altro non capisco bene cosa voglia dire.
Ho fatto una cavolata! Mi ero completamente dimenticato come risolvere una banale equazione di secondo grado! -.-
Comunque io volevo arrivare a scomporre ancora l'equazione di secondo grado.
Infatti, dopo averti letto, mi è venuta in mente che non si risolve mettendo solo le soluzioni così -.-'
Mi sono andato a rileggere gli appunti, ax2+bx+c=0 si può scomporre in a(x-x1)(x-x2) quindi:
[tex]$\frac n6 [2(n+\frac{1}{2})(n+1)]= \frac n6 (n+1)(2n+1)$[/tex] e diventa così:
[tex]$\frac n6 [(2n+1)(n+1)]= \frac n6 (n+1)(2n+1)$[/tex]
Finalmente mi sono tolto il dubbio! (che cavolo!
)Qualcosa mi dice che tra non molto, ritornerò qui
Grazie mille per la tua risposta e aiuto!
Prego, è un piacere!
visto che hai ripreso da poco a studiare matematica, ti faccio notare una sottigliezza, che però può essere interessante:
siccome stiamo parlando di numeri interi, in particolare naturali, sarebbe meglio non scrivessi cose come [tex]$\frac 12$[/tex], perchè non esiste nei numeri naturali.
Invece è decisamente lecita la scrittura [tex]$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$[/tex], sapresti dire il perchè?
visto che hai ripreso da poco a studiare matematica, ti faccio notare una sottigliezza, che però può essere interessante:
siccome stiamo parlando di numeri interi, in particolare naturali, sarebbe meglio non scrivessi cose come [tex]$\frac 12$[/tex], perchè non esiste nei numeri naturali.
Invece è decisamente lecita la scrittura [tex]$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$[/tex], sapresti dire il perchè?
"blackbishop13":
Prego, è un piacere!
visto che hai ripreso da poco a studiare matematica, ti faccio notare una sottigliezza, che però può essere interessante:
siccome stiamo parlando di numeri interi, in particolare naturali, sarebbe meglio non scrivessi cose come [tex]$\frac 12$[/tex], perchè non esiste nei numeri naturali.
Invece è decisamente lecita la scrittura [tex]$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$[/tex], sapresti dire il perchè?
Potrebbe fare questa domanda interessante alla mia prof. di matematica, che da lei ho preso gli appunti!
E ad essere sincero, non avevo fatto caso a questa sottigliezza, quindi non ti so spiegare il perché.Illuminami tu
Intanto, [tex]$\frac 12$[/tex] non sta nei naturali perchè [tex]$2$[/tex] non è invertibile, quindi a rigore non si può scrivere nemmeno [tex]$\frac 16$[/tex] per lo stesso motivo.
Ma adottiamo la convenzione che anche tra gli interi è lecito scrivere [tex]$\frac ab$[/tex] se [tex]$b \mid a$[/tex].
chiarisco con un esempio: [tex]$\frac {12}{3}$[/tex] diciamo che "appartiene" a [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] perchè è uguale a [tex]$4$[/tex].
allo stesso modo scriviamo [tex]$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$[/tex] come numero intero.
Adesso dovresti aver capito perché, e potresti provare a dimostrarlo!
Ma adottiamo la convenzione che anche tra gli interi è lecito scrivere [tex]$\frac ab$[/tex] se [tex]$b \mid a$[/tex].
chiarisco con un esempio: [tex]$\frac {12}{3}$[/tex] diciamo che "appartiene" a [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] perchè è uguale a [tex]$4$[/tex].
allo stesso modo scriviamo [tex]$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$[/tex] come numero intero.
Adesso dovresti aver capito perché, e potresti provare a dimostrarlo!
Grazie per l'illuminazione, mi sono pure accorto che più avanti negli appunti parla anche di questo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo