Dubbio sul prodotto del gruppo quoziente
Salve a tutti.
Ho il seguente dubbio:
Sia $(G,\cdot)$ un gruppo e sia $H
da $A\cdot B:=\{a\cdot b|a\in A,b\in B\}$ induce su $G/H$ una struttura
di gruppo. In particolare l'operazione $\cdot$ ristretta a $G/H\times G/H$
è chiusa.
La mia domanda è: se $H$ non è normale le cose vanno sempre male?
E' chiaro che in qualche caso vanno male. Ad esempio su $S_{3}$ se
pongo $H:=<(23)>$ e faccio $(12)H\cdot(13)H$ ottengo $\{id,(12),(23),(123)\}$
che non sta in $G/H$. Quindi quello che fa fallire il tutto è, in
questo caso la chiusura.
Quello che mi chiedo è: in generale vale la stessa cosa? Cioè è sempre
la chiusura che ``rompe le scatole''?
In altri termini, se $H$ non è normale in $G$ allora esistono $a,b\in G$
tali che $(aH)\cdot(bH)\notin G/H$?
Grazie a tutti per le eventuali risposte.
Ho il seguente dubbio:
Sia $(G,\cdot)$ un gruppo e sia $H
da $A\cdot B:=\{a\cdot b|a\in A,b\in B\}$ induce su $G/H$ una struttura
di gruppo. In particolare l'operazione $\cdot$ ristretta a $G/H\times G/H$
è chiusa.
La mia domanda è: se $H$ non è normale le cose vanno sempre male?
E' chiaro che in qualche caso vanno male. Ad esempio su $S_{3}$ se
pongo $H:=<(23)>$ e faccio $(12)H\cdot(13)H$ ottengo $\{id,(12),(23),(123)\}$
che non sta in $G/H$. Quindi quello che fa fallire il tutto è, in
questo caso la chiusura.
Quello che mi chiedo è: in generale vale la stessa cosa? Cioè è sempre
la chiusura che ``rompe le scatole''?
In altri termini, se $H$ non è normale in $G$ allora esistono $a,b\in G$
tali che $(aH)\cdot(bH)\notin G/H$?
Grazie a tutti per le eventuali risposte.
Risposte
Tu hai una gruppo \(G\). A questo punto tu definisci una relazione di equivalenza \(\sim\) su \(G\). Affinché tu possa definire una struttura di gruppo su \(G/\sim\) devi avere che \(a_1\sim a_2 \wedge b_1\sim b_2 \) impica \(a_1b_1 \sim a_2b_2\) ed inoltre \(a^{-1} \sim b^{-1} \) se e solo se \(a\sim b \).
A questo punto analizziamo la forma di \(E = [1] \in G/\sim\) (la classe di equivalenza dell'elemento neutro). Supponiamo si abbia che \(a_1\sim a_2 \) e \(a_1b = a_2 \). Allora \(\displaystyle e = a_2^{-1}a_2 \sim a_1^{-1}a_2 = a_1^{-1}a_1b = b \), quindi \(b\in E \). Questo significa che \(a_2 \in a_1E \). Analogalmente esiste un \(c \) tale che \(ca_1 = a_2 \), da cui deduciamo che \(c = ce = ca_1a_1^{-1} = a_2a_1^{-1} \sim a_2a_2^{-1} = e\) cioé che \(a_2 \in Ea_1 \). Per la generalità di \(a_2\) si deve avere che \(a_1E = Ea_1\).
\(\displaystyle E \) è inoltre un sottogruppo, infatti per ogni \(e_1, e_2 \in E \), \(e_1e_2^{-1} \in E \) per le condizioni che abbiamo messo su \(\sim\). In definitiva \(G/\sim\) eredita una struttura di gruppo se e solo se \(\sim\) è definito dalle classi laterali di un sottogruppo normale.
Questo è un po' l'aspetto costruttivo del concetto di sottogruppo normale, che spesso viene omesso e si dà subito la definizione. La stessa cosa si può fare su altre strutture algebriche. Puoi provare a farlo con gli anelli se ti va.
A questo punto analizziamo la forma di \(E = [1] \in G/\sim\) (la classe di equivalenza dell'elemento neutro). Supponiamo si abbia che \(a_1\sim a_2 \) e \(a_1b = a_2 \). Allora \(\displaystyle e = a_2^{-1}a_2 \sim a_1^{-1}a_2 = a_1^{-1}a_1b = b \), quindi \(b\in E \). Questo significa che \(a_2 \in a_1E \). Analogalmente esiste un \(c \) tale che \(ca_1 = a_2 \), da cui deduciamo che \(c = ce = ca_1a_1^{-1} = a_2a_1^{-1} \sim a_2a_2^{-1} = e\) cioé che \(a_2 \in Ea_1 \). Per la generalità di \(a_2\) si deve avere che \(a_1E = Ea_1\).
\(\displaystyle E \) è inoltre un sottogruppo, infatti per ogni \(e_1, e_2 \in E \), \(e_1e_2^{-1} \in E \) per le condizioni che abbiamo messo su \(\sim\). In definitiva \(G/\sim\) eredita una struttura di gruppo se e solo se \(\sim\) è definito dalle classi laterali di un sottogruppo normale.
Questo è un po' l'aspetto costruttivo del concetto di sottogruppo normale, che spesso viene omesso e si dà subito la definizione. La stessa cosa si può fare su altre strutture algebriche. Puoi provare a farlo con gli anelli se ti va
.
Intanto grazie per la risposta.
Scusami ma non ho capito questo punto.
Sia $(G,\cdot)$ un gruppo e sia $\sim$ una relazione di equivalenza
su $G$. Sia $G':=G/\sim$.
Supponiamo che esista una funzione $\star:G'\times G'\to G'$ che
renda $(G',\star)$ un gruppo.
Siano $x,x',y,y'\in G$ tali che $x\sim x'$ e $y\sim y'$. Allora
$[x]=[x']$ e anche $[y]=[y']$ da cui $[x]\star[y]=[x']\star[y']$.
A questo punto non ho capito perchè $[xy]=[x'y']$.
Certo, se per ipotesi pretendessi che: $\forall a,b\in G$ $ab\in[a]\star$
allora seguirebbe quello che dici tu.
Scusami ma non ho capito questo punto.
"vict85":
Tu hai una gruppo \(G\)Affinché tu possa definire una struttura di gruppo su \(G/\sim\) devi avere che \(a_1\sim a_2 \wedge b_1\sim b_2 \) impica \(a_1b_1 \sim a_2b_2\) ed inoltre \(a^{-1} \sim b^{-1} \) se e solo se \(a\sim b \).
Sia $(G,\cdot)$ un gruppo e sia $\sim$ una relazione di equivalenza
su $G$. Sia $G':=G/\sim$.
Supponiamo che esista una funzione $\star:G'\times G'\to G'$ che
renda $(G',\star)$ un gruppo.
Siano $x,x',y,y'\in G$ tali che $x\sim x'$ e $y\sim y'$. Allora
$[x]=[x']$ e anche $[y]=[y']$ da cui $[x]\star[y]=[x']\star[y']$.
A questo punto non ho capito perchè $[xy]=[x'y']$.
Certo, se per ipotesi pretendessi che: $\forall a,b\in G$ $ab\in[a]\star$
allora seguirebbe quello che dici tu.
O, ancora, un altra ipotesi "che ha senso'' potrebbe essere che:
$\forall a,b\in G$ $[a]\star=[a\cdot b]$
$\forall a,b\in G$ $[a]\star=[a\cdot b]$
Tu vuoi che erediti l'operazione dal Gruppo. Un po' come la topologia quozionte. Su un insieme puoi sempre definire un'operazione di gruppo.
Ereditare significa che se \([a]\cdot = [a \cdot b] \), ma questo cosa significa? Per prima cosa quella funzione deve essere ben definita, in altre parole se al posto di \(a \) e \(b \) selezioni degli elementi "equivalenti" allora il prodotto dovrà essere equivalente a quello di \(a \) e \(b \). Che non è altro della mia condizione unita alla condizione (in effetti probabilmente avrei dovuto per chiarezza uguagliare entrambi a \(le [a \cdot b] \)). La condizione sull'inversa non è invece necessaria in quanto \([a]\cdot [a^{-1}] = [a\cdot a^{-1}] = [e] \) e quindi \([a^{-1}] = [a]^{-1} \).
Ereditare significa che se \([a]\cdot = [a \cdot b] \), ma questo cosa significa? Per prima cosa quella funzione deve essere ben definita, in altre parole se al posto di \(a \) e \(b \) selezioni degli elementi "equivalenti" allora il prodotto dovrà essere equivalente a quello di \(a \) e \(b \). Che non è altro della mia condizione unita alla condizione (in effetti probabilmente avrei dovuto per chiarezza uguagliare entrambi a \(le [a \cdot b] \)). La condizione sull'inversa non è invece necessaria in quanto \([a]\cdot [a^{-1}] = [a\cdot a^{-1}] = [e] \) e quindi \([a^{-1}] = [a]^{-1} \).
Mmmhh...ho ancora le idee un po' confuse. 
Vediamo di ricapitolare.
Sia $(G,\cdot)$ un gruppo, $H
Denotiamo con $\star$ il prodotto in $2^{G}$ indotto da quello di
$G$, ovvero $\forall A,B\in2^{G} \qquad$ $A\star B:=\{a\cdot b|a\in A,b\in B\}$.
Denotiamo inoltre con $ ox $ la restrizione di $ \star $ a $G/H\times G/H$.
Consideriamo la coppia $G':=(G/H,ox)$ .
Sappiamo che:
(1) Se $H$ è normale in $G$ allora $G'$ è un gruppo. Inoltre vale
la formula: $\forall[x],[y]\in G/H\quad$ $[x]ox[y]=[x\cdot y]$.
(2) Essendo un sottogruppo, $H$ induce una relazione di equivalenza su $G$ definita da:
$\forall x,y\in G\qquad$ $xR_{s}y$ $\Leftrightarrow$ $y^{-1}x\in H$.
Questa relazione non è in generale compatibile con l'operazione del
gruppo. Se pretendiamo che lo sia allora $H$ è necessariamente normale
e quindi $G'$ è un gruppo.
Domanda: supponiamo ora che $H$ non sia normale (e quindi la $R_{s}$
non è compatibile). Allora $G'$ può essere un gruppo (almeno in qualche
caso)? Oppure non è mai un gruppo?
Vediamo di ricapitolare.
Sia $(G,\cdot)$ un gruppo, $H
Denotiamo con $\star$ il prodotto in $2^{G}$ indotto da quello di
$G$, ovvero $\forall A,B\in2^{G} \qquad$ $A\star B:=\{a\cdot b|a\in A,b\in B\}$.
Denotiamo inoltre con $ ox $ la restrizione di $ \star $ a $G/H\times G/H$.
Consideriamo la coppia $G':=(G/H,ox)$ .
Sappiamo che:
(1) Se $H$ è normale in $G$ allora $G'$ è un gruppo. Inoltre vale
la formula: $\forall[x],[y]\in G/H\quad$ $[x]ox[y]=[x\cdot y]$.
(2) Essendo un sottogruppo, $H$ induce una relazione di equivalenza su $G$ definita da:
$\forall x,y\in G\qquad$ $xR_{s}y$ $\Leftrightarrow$ $y^{-1}x\in H$.
Questa relazione non è in generale compatibile con l'operazione del
gruppo. Se pretendiamo che lo sia allora $H$ è necessariamente normale
e quindi $G'$ è un gruppo.
Domanda: supponiamo ora che $H$ non sia normale (e quindi la $R_{s}$
non è compatibile). Allora $G'$ può essere un gruppo (almeno in qualche
caso)? Oppure non è mai un gruppo?
"dark121it":
Domanda: supponiamo ora che H non sia normale (e quindi la Rs
non è compatibile). Allora G′ può essere un gruppo (almeno in qualche
caso)?
No. La compatibilità di una relazione $R$ con le operazioni di $G$ è una condizione necessaria e sufficiente affinchè il quoziente $G/R$ possa ereditare le operazioni. Se la compatibilità non c'è allora le operazioni nel quoziente non sono ben definite, ovvero non sono funzioni, ovvero non sono univoche, ovvero capita che ad uno stesso elemento el dominio $G/H xx G/H$ corrisponda più di un elemento del codominio $G/H$. Le relazioni di equivalenza compatibili con le operazioni si dicono congruenze. Riformuliamo tutto in una maniera un pò meno "terra terra"
In un gruppo i sottogruppi normali sono univocamente determinati dalle congruenze
oppure
Ogni sottogruppo normale determina una congruenza e viceversa
oppure
I sottogruppi normali e le congruenze sono in corrispondenza biunivoca
Ciao!
Penso che tu non abbia compreso il mio ragionamento.
- [*:198cuuys] I laterali costituiscono delle partizioni di \(G\) e ogni partizione è definita da una relazione di equivalenza.[/*:m:198cuuys]
[*:198cuuys] Quindi generalizziamo e prendiamo in considerazione partizioni qualsiasi di \(G\).[/*:m:198cuuys]
[*:198cuuys] A questo punto mi sono chiesto. In quali condizioni questa partizione può ‘ereditare’ la struttura di gruppo? Ereditare significa che il prodotto della partizione è definito dalla semplice relazione \([a]\star = [a\diamond b]\)[/*:m:198cuuys]
[*:198cuuys] La prima condizione affinché questo avvenga è che il prodotto non dipenda dalla scelta di a e b all'interno della classe di equivalenza. Questo significa che se \([a] = [a'] \) e \( = [b'] \) allora \([a\diamond b] = [a'\diamond b'] \). Altrimenti non si potrebbe associare ad una coppia di classi di equivalenza una classe di equivalenza in modo univoco.[/*:m:198cuuys]
[*:198cuuys] Si può far vedere facilmente che queste condizioni sono sufficienti, infatti l'associatività, l'inverso e l'identità sono ereditati dal gruppo anche loro.[/*:m:198cuuys]
[*:198cuuys] Con semplici calcoli si nota che, nella condizione detta prima, la classe dell'identità deve formare un sottogruppo.[/*:m:198cuuys]
[*:198cuuys] Sia \([a] = [a']\) e \(x,y\in G\) gli unici elementi di \(G\) tali che \(x\diamond a = a\diamond y = a'\) (in un gruppo le equazioni del tipo \(\displaystyle ax = b \) hanno sempre soluzione unica). Allora \([1] = [a]\star[a]^{-1} = [a']\star[a]^{-1} = [x\diamond a]\star[a]^{-1} = [x]\star[a]\star[a]^{-1} = [x]\star [a\diamond a^{-1}] = [x]\).
Similmente si ricava che \([1] = [y] \).[/*:m:198cuuys]
[*:198cuuys]Ma allora \(a' = xa \in [1]a \) e \(a' = ay = a[1] \). Per la generalità di \(a' \) e \(a \) si deve avere che \([1] \) è normale. [/*:m:198cuuys][/list:u:198cuuys]
In definitiva quello che ho dimostrato è che non solo \(G/H \) è un gruppo se \(H \) è normale ma anche che, se \(G/\sim \) è un gruppo allora \(G/\sim = G/H \) con \(H \) normale.
"perplesso":
[quote="dark121it"]Domanda: supponiamo ora che H non sia normale (e quindi la Rs
non è compatibile). Allora G′ può essere un gruppo (almeno in qualche
caso)?
No.[...]. Se la compatibilità non c'è allora le operazioni nel quoziente non sono ben definite, ovvero non sono funzioni, ovvero non sono univoche, ovvero capita che ad uno stesso elemento el dominio $G/H xx G/H$ corrisponda più di un elemento del codominio $G/H$.
[/quote]
E' questo il punto che non riesco a capire. Me lo puoi dimostrare esplicitamente?
Ovvero puoi provare che:
$(G,\cdot)$ gruppo, $\sim$ relazione di equivalenza su $G$, $\sim$
non compatibile con $\cdot$ $\Rightarrow$ $\exists\,\, x,x',y,y'\in G$
tali che $[x]=[x']$, $[y]=[y']$ e però $[x]\star[y]\ne[x']\star[y']$.
(dove $\star$ è il prodotto di sottoinsiemi di $G$)
------------------
Se provo a negare la compatibilità ottengo:
$\sim$ non è compatibile con $\cdot$ $\Leftrightarrow$ $\neg$
( $x,x',y,y'\in G$, $[x]=[x']$, $[y]=[y']$ $\Rightarrow$ $[xy]=[x'y']$)
$\Rightarrow$ $\exists\,\,$ $x,x',y,y'\in G$, $[x]=[x']$, $[y]=[y']$
tali che $[xy]\ne[x'y']$.
E poi?
Supponi che la relazione $R$ non è compatibile con le operazioni. Allora esistono $x,x',y,y'$ tali che $[x]=[x']$ e $[y]=[y']$ ma $(xy,x'y') \notin R$. Di conseguenza hai che $x'y' \in [x'] \star [y'] = [x] star [y]$ ma $x'y' \notin [xy]$ e concludi $[x] \star [y] \ne [xy]$. In altri termini non puoi definire l'operazione operazione $\star$ in $G/R$. Quello che dicevo io è che "facendo finta" di poter definire $\star$ in modo che $[x] \star [y] = [xy]$, avresti comunque $[xy] \ne [x'y']$ perchè $(xy,x'y') \notin R$.
"dark121it":Sì. Spero di convincerti con questo argomento:
se $H$ non è normale in $G$ allora esistono $a,b\in G$
tali che $(aH)\cdot(bH)\notin G/H$?
Siano [tex]G[/tex] un gruppo e [tex]H[/tex] un suo sottogruppo. Sia [tex]X = \{gH\ |\ g \in G\}[/tex]. Se la legge [tex](xH) \ast (yH) := (xH)(yH)[/tex] definisce un'operazione su [tex]X[/tex] allora [tex]H[/tex] è normale in [tex]G[/tex].
Dimostrazione. Sia [tex]g \in G[/tex]. Dobbiamo mostrare che [tex]gHg^{-1} = H[/tex]. Per l'ipotesi esiste [tex]x \in G[/tex] con [tex](gH)(g^{-1}H) = xH[/tex]. In particolare [tex]1 = (g \cdot 1) \cdot (g^{-1} \cdot 1) \in (gH)(g^{-1}H) = xH[/tex] e quindi [tex]1 \in xH[/tex], da cui [tex]xH=H[/tex]. Ma allora [tex]gHg^{-1}H = H[/tex], da cui [tex]gHg^{-1}=H[/tex]. []
MI HAI CONVINTO!!!
Grande Martino!!!
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