Dubbio su regola di Cartesio
Mi sta sfuggendo una cosa forse banale sulla regola di Cartesio.
1) So che il polinomio $p(x)=x^3-2x+1$ ha tre radici reali. Ha due variazioni, quindi due radici positive. Siccome ha 3 radici reali, avrà 3-2= 1 radice negativa.
(cfr.qui, pag. 6: http://calvino.polito.it/~casnati/Geome ... uovo26.pdf)
2) Il polinomio $p(x)=-x^3+27x+54$ ha una variazione e una permanenza e ha tre radici reali. La terza soluzione quindi deve essere coincidente con una delle prime due. Dal segno del termine noto vedo che la terza soluzione sarà negativa.
La domanda è: perché nel caso (1) non avrei potuto avere 3 radici positive, di cui due coincidenti, come nel caso (2)?
Altra domanda: analogamente al caso (2), posso dire che polinomi incompleti di grado 3 aventi una variazione e una permanenza hanno due radici coincidenti?
1) So che il polinomio $p(x)=x^3-2x+1$ ha tre radici reali. Ha due variazioni, quindi due radici positive. Siccome ha 3 radici reali, avrà 3-2= 1 radice negativa.
(cfr.qui, pag. 6: http://calvino.polito.it/~casnati/Geome ... uovo26.pdf)
2) Il polinomio $p(x)=-x^3+27x+54$ ha una variazione e una permanenza e ha tre radici reali. La terza soluzione quindi deve essere coincidente con una delle prime due. Dal segno del termine noto vedo che la terza soluzione sarà negativa.
La domanda è: perché nel caso (1) non avrei potuto avere 3 radici positive, di cui due coincidenti, come nel caso (2)?
Altra domanda: analogamente al caso (2), posso dire che polinomi incompleti di grado 3 aventi una variazione e una permanenza hanno due radici coincidenti?
Risposte
Ciao,
fai attenzione che la regola di Cartesio ti dice che le $v(p)$ ti da il numero delle radici positive contate con la loro molteplicità. Ecco perchè sono diversi i due casi.
fai attenzione che la regola di Cartesio ti dice che le $v(p)$ ti da il numero delle radici positive contate con la loro molteplicità. Ecco perchè sono diversi i due casi.
Ciao Stefano, grazie per avere risposto. Non mi è ancora chiaro, però, guardando le variazioni e le permanenze, come posso vedere le molteplicità, cioè capire che il polinomio $x^3-2x+1$ ha 3 radici distinte e il polinomio $x^3-27x+54$ (prendo l'opposto dell'esempio che avevo fatto ieri) ne ha due coincidenti.
I segni dei coefficienti nei due polinomi sono rispettivamente gli stessi...
Non ho visto la dimostrazione di questa regola perché in questo momento non voglio andare troppo "fuori pista" rispetto a quello che sto facendo, ma se può servire a capire e conoscete un link dove è spiegata chiaramente, è gradito
I segni dei coefficienti nei due polinomi sono rispettivamente gli stessi...
Non ho visto la dimostrazione di questa regola perché in questo momento non voglio andare troppo "fuori pista" rispetto a quello che sto facendo, ma se può servire a capire e conoscete un link dove è spiegata chiaramente, è gradito
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