Dubbio su permutazioni

[duombo]

Ciao a tutti

ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio sulle permutazioni. L'esercizio è questo:

Data la permutazione $ sigma =(1 ,14,5),(2,13,8,4,11,9,10,6),(3,12,7) \in S_(14)$
sia $H:=$

1) Determinare $|H|$;

qui ho pensato di fare in questo modo:
$o(sigma)=mcm(3,8)=24$ dalla teoria so che $o(sigma^k)=(o(sigma))/(MCD(o(sigma),k))=24/8=3$
quindi la caridinalità di H sarà proprio 3 cioè $|H|=3$
La mia domanda qui è: la cardinalità di H è sempre uguale al suo periodo? questa cosa non l'ho capita benissimo.
Poi l'esercizio mi chiede

2) determinare tutte le permutazioni $tau \in H |tau(1)=1$
e qui controllo quali sono gli elementi che fanno parte di H, e questi saranno $H={sigma^8, sigma^16, id}$ quindi ${tau \in H |tau(1)=1}={id}$


che ne dite di questo ragionamento? è corretto? devo migliorare qualcosa?

grazie a tutti come sempre

[vict85]

"duombo":La mia domanda qui è: la cardinalità di $H$ è sempre uguale al suo periodo? questa cosa non l'ho capita benissimo.

Non tutti i sottogruppi di $S_n$ sono ciclici.

[duombo]

Grazie mille vict85,

perdonami ma continuo a non capire, in che senso che non tutti i sottogruppi di $S_n$ sono ciclici? mi puoi spiegare meglio?
grazie

[Kashaman]

Credo che duombo intendesse chiedere se un sottogruppo ciclico ha cardinalità pari all'ordine del suo generatore, in tal caso la risposta è affermativa e questa cosa vale in generale. Considera un gruppo $G$ e un elemento $g \in G$ e supponi che quest'ultimo abbia periodo $k$ , considera poi $ = { 1,g , g^2,.... }$ ,il sottogruppo ciclico generato da $g$.
$$ ha esattamente $k$ elementi e sono dati da ${ 1,g,g^2,..,g^k}$. Infatti, sia un certo $g^j$ e proviamo che appartiene a quell'insieme. Per il teorema di divisione euclidea $j = kq+r $ dove $q \in ZZ $ e $ 0<=r g^j \in { 1,g,g^2,..,g^k}$ e la tesi è provata.

[duombo]

"Kashaman":Credo che duombo intendesse chiedere se un sottogruppo ciclico ha cardinalità pari all'ordine del suo generatore, in tal caso la risposta è affermativa e questa cosa vale in generale. Considera un gruppo $G$ e un elemento $g \in G$ e supponi che quest'ultimo abbia periodo $k$ , considera poi $ = { 1,g , g^2,.... }$ ,il sottogruppo ciclico generato da $g$.
$$ ha esattamente $k$ elementi e sono dati da ${ 1,g,g^2,..,g^k}$. Infatti, sia un certo $g^j$ e proviamo che appartiene a quell'insieme. Per il teorema di divisione euclidea $j = kq+r $ dove $q \in ZZ $ e $ 0<=r g^j \in { 1,g,g^2,..,g^k}$ e la tesi è provata.

non avrei potuto chiedere spiegazione migliore grazie mille, mi hai chiarito molte cose adesso

[Kashaman]

Figurati.

[duombo]

approfitto per un'altra domandina in merito

ho questa permutazione $\sigma=(1, 3, 12, 5, 11, 8)(2, 10, 4, 6, 12, 7, 9)$ che ha ordine $42$
detto $H:=<\sigma^(8440)>$ determinare |H|

quindi $(42)/(MDC(42,8440))=(42)/2=21$ di conseguenza $|H|=21$

poi mi viene chiesto "Esiste un sottogruppo di H di ordine 3?"

i sottogruppi devono avere ordine che divide l'ordine di H, in questo caso 21
un sottogruppo di ordine 3 sarà dato da tutte permutazioni $\sigma$ elevate a potenze divisori di 21 ovvero 1,3,7,21
${\sigma, \sigma^3, \sigma^7, id}$ esatto?

oppure dovrei dire che $H={\sigma^2,\sigma^4,\sigma^6,\sigma^8,\sigma^10,\sigma^12,\sigma^14,\sigma^16,\sigma^18,\sigma^20,\sigma^22,\sigma^24,\sigma^26,\sigma^28,\sigma^30,\sigma^32,\sigma^34,\sigma^36,\sigma^38,\sigma^40,id}$ e di queste solo ${\sigma^14 e \sigma^28}$ hanno ordine 3 e dal momento che non c'è l'identità allora non esiste un sottogruppo

che ne dite?

[Kashaman]

Risponditi da solo : Quell'insieme che hai scritto è un sottogruppo?

[duombo]

l'insieme ${\sigma^14,\sigma^28}$ no, non è un sottogruppo (vero?)

[Kashaman]

Neanche quello di prima. Hai un po' di confusione in testa, secondo me. Allora , ti viene data una permutazione di ordine 42 , $\sigma$ e $H=<\sigma ^(8440)>$ . Hai ragione nel dire che $H$ ha ordine $21$ giacché $\sigma^40 = \sigma^(8440)$ . Il problema ti chiede di dire se esiste un sottogruppo di $H$ di ordine 3.
Procedi per passi :
Che tipo di sottogruppo è $H$?
Ogni sottogruppo di $H$ di che tipo è?

[duombo]

"Kashaman":Neanche quello di prima. Hai un po' di confusione in testa, secondo me.

Anche secondo me :/

"Kashaman":Allora , ti viene data una permutazione di ordine 42 , $\sigma$ e $H=<\sigma ^(8440)>$ . Hai ragione nel dire che $H$ ha ordine $21$ giacché $\sigma^40 = \sigma^(8440)$ . Il problema ti chiede di dire se esiste un sottogruppo di $H$ di ordine 3.
Procedi per passi :
Che tipo di sottogruppo è $H$?

H è un sottogruppo ciclico

"Kashaman":
Ogni sottogruppo di $H$ di che tipo è?

qui non saprei rispondere

[Kashaman]

Un sottogruppo di un gruppo ciclico è un gruppo ciclico, concordi? (provalo)
Quindi per trovare un sottogruppo di $H$ di ordine tre cosa ti basta trovare?

[banino84]

"Kashaman":Un sottogruppo di un gruppo ciclico è un gruppo ciclico, concordi? (provalo)
Quindi per trovare un sottogruppo di $H$ di ordine tre cosa ti basta trovare?

Mi sono perso anche io

[duombo]

"Kashaman":Un sottogruppo di un gruppo ciclico è un gruppo ciclico, concordi? (provalo)

Sì concordo.
Un sottogruppo di un gruppo ciclico è un gruppo ciclico, in questo abbiamo che $H$ è generato da $sigma^8440$

"Kashaman":Quindi per trovare un sottogruppo di $H$ di ordine tre cosa ti basta trovare?

quindi per rispondere a questa domanda devo trovare un $\sigma \in H$ tale che l'ordine del sottogruppo generato da questo elemento sia 3, corretto?

[Kashaman]

Esatto.

[duombo]

Perfetto quindi per concludere
quindi dato che $H={\sigma^2,\sigma^4,\sigma^6,\sigma^8,\sigma^10,\sigma^12,\sigma^14,\sigma^16,\sigma^18,\sigma^20,\sigma^22,\sigma^24,\sigma^26,\sigma^28,\sigma^30,\sigma^32,\sigma^34,\sigma^36,\sigma^38,\sigma^40,id}$

il sottogruppo di ordine 3 sarà dato da ${\sigma^14,\sigma^28,\sigma^42=id}$

[Kashaman]

Ok, credo sia giusto. Comunque, una cosa a cui potresti pensare è la seguente :
Se $G$ è ciclico e finito, $\forall n | |G|$ esiste un sottogruppo $H$ di $G$ tale che $|H|=n$